A posição de uma pedra que cai do alto de um rochedo, a partir do repouso, é dada por
, onde a altura
é dada em metros e o tempo
em segundos. Calcule a velocidade média <v> e a velocidade instantânea
desta pedra:
(a) assumindo intervalos infinitesimais de tempo
;
(b) utilizando os conceitos de cálculo diferencial e;
© repetindo o procedimento adotado nos ítens (a) e (b), determine a aceleração média <a>e a aceleração instantânea
, desta pedra.
(a) assumindo intervalos infinitesimais de tempo
(b) utilizando os conceitos de cálculo diferencial e;
© repetindo o procedimento adotado nos ítens (a) e (b), determine a aceleração média <a>e a aceleração instantânea
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a posição de uma pedra que cai de um rochedo, começando do repouso, dada pela fórmula $ h = -5 t^{2} $, onde $ h $ está em metros e $ t $ em segundos. Vamos calcular:
(a) A velocidade média $ \langle v \rangle $ e a velocidade instantânea $ v $ dessa pedra usando intervalos infinitesimais de tempo $ \Delta t $.
(b) Utilizando os conceitos de cálculo diferencial.
© Repetir os procedimentos dos itens (a) e (b) para determinar a aceleração média $ \langle a \rangle $ e a aceleração instantânea $ a $ da pedra.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento uniformemente variado, cálculo de velocidades média e instantânea, além de aceleração média e instantânea.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a). Para encontrar a velocidade média $ \langle v \rangle $, usamos a fórmula:
Aqui, $ \Delta h $ é a variação da altura e $ \Delta t $ é o intervalo de tempo durante o qual essa variação ocorre.
Passo 3
Substituindo $ h = -5 t^{2} $ na fórmula da velocidade média:
Portanto,
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade instantânea $ v $, consideramos o limite quando $ \Delta t $ tende a zero. Ou seja:
Passo 5
Passando para o item (b), vamos usar o conceito de derivada para encontrar a velocidade instantânea. A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade instantânea.
Passo 6
Agora, para o item ©, vamos repetir o processo para encontrar a aceleração média $ \langle a \rangle $ e a aceleração instantânea $ a $.
Começamos com a aceleração média:
Sabemos que a velocidade instantânea é $ v = -10 t $, então:
Portanto,
Passo 7
Para a aceleração instantânea, usamos a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Resposta
(a) A velocidade média é $ \langle v \rangle = -10 t -5 \Delta t $ m/s e a velocidade instantânea é $ v = -10 t $ m/s.
(b) Utilizando cálculo diferencial, a velocidade instantânea é $ v = -10 t $ m/s.
© A aceleração média é $ \langle a \rangle = -10 $ m/s² e a aceleração instantânea é $ a = -10 $ m/s².