A posição de uma pedra que cai do alto de um rochedo, a partir do repouso, é dada por h=-5 t^2, onde a altura h é dada em metros e o tempo t em segundos. Calcule a velocidade média <v> e a velocidade instantânea v desta pedra:
(a) assumindo intervalos infinitesimais de tempo De;
(b) utilizando os conceitos de cálculo diferencial e;
© repetindo o procedimento adotado nos ítens (a) e (b), determine a aceleração média <a>e a aceleração instantânea a, desta pedra.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a posição de uma pedra que cai de um rochedo, começando do repouso, dada pela fórmula $ h = -5 t^{2} $, onde $ h $ está em metros e $ t $ em segundos. Vamos calcular:
(a) A velocidade média $ \langle v \rangle $ e a velocidade instantânea $ v $ dessa pedra usando intervalos infinitesimais de tempo $ \Delta t $.
(b) Utilizando os conceitos de cálculo diferencial.
© Repetir os procedimentos dos itens (a) e (b) para determinar a aceleração média $ \langle a \rangle $ e a aceleração instantânea $ a $ da pedra.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento uniformemente variado, cálculo de velocidades média e instantânea, além de aceleração média e instantânea.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a). Para encontrar a velocidade média $ \langle v \rangle $, usamos a fórmula:
lang<= v rang<=
Aqui, $ \Delta h $ é a variação da altura e $ \Delta t $ é o intervalo de tempo durante o qual essa variação ocorre.

Passo 3

Substituindo $ h = -5 t^{2} $ na fórmula da velocidade média:
h = -5 t^2
Portanto,
De

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade instantânea $ v $, consideramos o limite quando $ \Delta t $ tende a zero. Ou seja:
v

Passo 5

Passando para o item (b), vamos usar o conceito de derivada para encontrar a velocidade instantânea. A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade instantânea.
v = dhdt = ddt (-5 t^2) = -10 t

Passo 6

Agora, para o item ©, vamos repetir o processo para encontrar a aceleração média $ \langle a \rangle $ e a aceleração instantânea $ a $.
Começamos com a aceleração média:
lang<= a rang<=
Sabemos que a velocidade instantânea é $ v = -10 t $, então:
a
Portanto,
lang<= a rang<= = De

Passo 7

Para a aceleração instantânea, usamos a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt = ddt (-10 t) = -10 , m/s^2

Resposta

(a) A velocidade média é $ \langle v \rangle = -10 t -5 \Delta t $ m/s e a velocidade instantânea é $ v = -10 t $ m/s.
(b) Utilizando cálculo diferencial, a velocidade instantânea é $ v = -10 t $ m/s.
© A aceleração média é $ \langle a \rangle = -10 $ m/s² e a aceleração instantânea é $ a = -10 $ m/s².

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