Uma bola é lançada horizontalmente de uma altura
com velocidade
e percorre uma distância horizontal
.
(a) Você espera que
aumente ou diminua com o aumento de
?
(b) A partir dos conceitos de análise dimensional, encontre uma relação envolvendo as quantidades
e
.
(a) Você espera que
(b) A partir dos conceitos de análise dimensional, encontre uma relação envolvendo as quantidades
Passo 1
Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que uma bola sai de uma altura H com velocidade horizontal v e cai no chão num ponto a distância R do lançamento.
Conteúdo: física de movimento de projétil (queda livre) + análise dimensional.
O que vamos precisar: entender que o alcance R depende do tempo de queda (que vem de H e g) e da velocidade horizontal v, e depois usar análise dimensional para achar como R se relaciona com H, v e a aceleração da gravidade g.
Conteúdo: física de movimento de projétil (queda livre) + análise dimensional.
O que vamos precisar: entender que o alcance R depende do tempo de queda (que vem de H e g) e da velocidade horizontal v, e depois usar análise dimensional para achar como R se relaciona com H, v e a aceleração da gravidade g.
Passo 2
(a) Pergunta: R aumenta ou diminui com H?
Teoria rápida: quanto mais alto você solta a bola, mais tempo ela leva pra chegar ao chão (queda livre). Se o tempo aumenta e a componente horizontal da velocidade é constante (v), então ela percorre mais distância horizontal.
Logo, conforme H aumenta, R aumenta.
Teoria rápida: quanto mais alto você solta a bola, mais tempo ela leva pra chegar ao chão (queda livre). Se o tempo aumenta e a componente horizontal da velocidade é constante (v), então ela percorre mais distância horizontal.
Logo, conforme H aumenta, R aumenta.
Passo 3
(b) Agora análise dimensional. A ideia é supor que
e achar os expoentes
pedindo que as dimensões do lado direito sejam de comprimento
.
Dimensões:
– R tem dimensão .
– v tem dimensão .
– H tem dimensão .
– g tem dimensão .
– R tem dimensão
– v tem dimensão
– H tem dimensão
– g tem dimensão
Então no produto:
Passo 4
Agora igualamos expoentes:
Para tempo :
Para tempo
Para comprimento
:
Substituindo
em
:
Nós temos 2 equações para 3 incógnitas, ou seja, sobra um grau de liberdade (é porque a análise dimensional não acha constantes adimensionais). A gente escolhe um valor prático de
para ficar bonitinho:
para temos
para
Então
onde
é uma constante adimensional.
Resposta
(a) R aumenta quando H aumenta.
(b) Pela análise dimensional chega-se a
(b) Pela análise dimensional chega-se a
sendo
uma constante adimensional (no caso real de lançamento horizontal, vale
, mas a análise dimensional só garante a forma
).