Uma bola é lançada horizontalmente de uma altura H com velocidade v e percorre uma distância horizontal R.
(a) Você espera que R aumente ou diminua com o aumento de H?
(b) A partir dos conceitos de análise dimensional, encontre uma relação envolvendo as quantidades R, H, v e g.

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que uma bola sai de uma altura H com velocidade horizontal v e cai no chão num ponto a distância R do lançamento.
Conteúdo: física de movimento de projétil (queda livre) + análise dimensional.
O que vamos precisar: entender que o alcance R depende do tempo de queda (que vem de H e g) e da velocidade horizontal v, e depois usar análise dimensional para achar como R se relaciona com H, v e a aceleração da gravidade g.

Passo 2

(a) Pergunta: R aumenta ou diminui com H?
Teoria rápida: quanto mais alto você solta a bola, mais tempo ela leva pra chegar ao chão (queda livre). Se o tempo aumenta e a componente horizontal da velocidade é constante (v), então ela percorre mais distância horizontal.
Logo, conforme H aumenta, R aumenta.

Passo 3

(b) Agora análise dimensional. A ideia é supor que
R propto v^a,H^b,g^c
e achar os expoentes [v^a,H^b,g^c] = ([L][T]^-1)^a,[L]^b,[L,T^-2]^c = [L]^,a+b+c,[T]^-a-2c pedindo que as dimensões do lado direito sejam de comprimento .
Dimensões:
– R tem dimensão .
– v tem dimensão .
– H tem dimensão .
– g tem dimensão .
Então no produto:

Passo 4

Agora igualamos expoentes:
Para tempo -a - 2c = 0 Rightarrow a = -2c :
a + b + c = 1
Para comprimento -2c + b + c = 1 Rightarrow b = 1 + c :
a = -2l(-tfrac12r) = 1, b = 1 + l(-tfrac12r) = tfrac12
Substituindo R = k,v^1,H^1/2,g^-1/2 = k,v;raizHg, em :
Nós temos 2 equações para 3 incógnitas, ou seja, sobra um grau de liberdade (é porque a análise dimensional não acha constantes adimensionais). A gente escolhe um valor prático de para ficar bonitinho:
para temos
Então
onde é uma constante adimensional.

Resposta

(a) R aumenta quando H aumenta.
(b) Pela análise dimensional chega-se a
boxedR = k,v,raizHg,
sendo uma constante adimensional (no caso real de lançamento horizontal, vale , mas a análise dimensional só garante a forma ).

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