A posição r de uma partícula que se move num plano xy é dada por r=(2 t^3-5 t) i-(6-7 t^4) j com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule (a) r, (b) v e (c) a para t=2 s. (d) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t=2 s.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula no plano xy em função do tempo t pela relação
r(t)=(2t^3-5t),i-(6-7t^4),j
e pede no instante t=2,s:
(a) o vetor posição r,
(b) o vetor velocidade v,
(c) o vetor aceleração a e
(d) o ângulo entre o eixo x positivo e a reta tangente à trajetória.
Para isso vamos usar derivadas de funções vetoriais e a relação trigonométrica que dá o ângulo de um vetor no plano.

Passo 2

A velocidade é a derivada de r(t) componente a componente, e a aceleração é a derivada de v(t). Calculando, temos
v(t)=drdt =l(6t^2-5r),i+28t^3,j,
a(t)=dvdt =12t,i+84t^2,j

Passo 3

Substituindo t=2 em cada expressão:
r(2) =(2cdot2^3-5cdot2),i-l(6-7cdot2^4r),j =(16-10),i+(-6+112),j =6,i+106,j,
v(2) =(6cdot2^2-5),i+28cdot2^3,j =(24-5),i+224,j =19,i+224,j,
a(2) =12cdot2,i+84cdot2^2,j =24,i+336,j

Passo 4

O ângulo theta entre o eixo x positivo e a reta tangente é o mesmo que o ângulo do vetor v(2). Assim,
tantheta=vyvx=22419,
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theta=arctan!l(tfrac22419r)approx85,15^circ

Resposta

(a) r(2)=6,i+106,j
(b) v(2)=19,i+224,j
(c) a(2)=24,i+336,j
(d) thetaapprox85,15^circ

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