A potência entregue a um elemento é p=12 sen 4 t W e a tensảo v=4 sen 2 t V. Calcule a corrente que entra pelo terminal positivo e a carga entregue ao elemento entre 0 e pi / 4 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá a potência $ p(t) = 12 \sin(4t) $ watts e a tensão $ v(t) = 4 \sin(2t) $ volts aplicada a um elemento. A gente precisa descobrir duas coisas: a corrente que entra pelo terminal positivo desse elemento e a carga elétrica entregue a ele no intervalo de tempo de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $ segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade básica, como a relação entre potência, tensão e corrente, além de integração para encontrar a carga.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a corrente $ i(t) $ que está entrando no terminal. Sabemos que a potência elétrica é dada pela fórmula:
i(t)
Queremos isolar $ i(t) $, então vamos rearranjar a fórmula:
p(t) = v(t) cdot i(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir as funções de $ p(t) $ e $ v(t) $ na equação da corrente:
p(t)
Para simplificar essa expressão, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona senos de múltiplos ângulos:
v(t)
Substituindo isso na equação da corrente:
i(t) = 12 sin(4t)4 sin(2t) = 3 sin(4t)sin(2t)
Então, a corrente que entra pelo terminal positivo é:
sin(4t) = 2 sin(2t) cos(2t)

Passo 4

Agora, queremos calcular a carga $ Q $ entregue ao elemento no intervalo de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $ segundos. A carga elétrica é a integral da corrente em relação ao tempo:
Q
Substituindo a expressão da corrente que encontramos:
0

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Q = 6 integral0^pi4 cos(2t) , dt
A integral de $ \cos(2t) $ é $ \frac{\sin(2t)}{2} $, então:
cos(2t)
Calculando os valores:
sin(2t)2

Resposta

A corrente que entra pelo terminal positivo é $ i(t) = 6 \cos(2t) $ amperes e a carga entregue ao elemento no intervalo de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $ segundos é $ Q = 3 $ coulombs.

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