A potência entregue a um elemento é
W e a tensảo
. Calcule a corrente que entra pelo terminal positivo e a carga entregue ao elemento entre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá a potência $ p(t) = 12 \sin(4t) $ watts e a tensão $ v(t) = 4 \sin(2t) $ volts aplicada a um elemento. A gente precisa descobrir duas coisas: a corrente que entra pelo terminal positivo desse elemento e a carga elétrica entregue a ele no intervalo de tempo de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $ segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade básica, como a relação entre potência, tensão e corrente, além de integração para encontrar a carga.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a corrente $ i(t) $ que está entrando no terminal. Sabemos que a potência elétrica é dada pela fórmula:
Queremos isolar $ i(t) $, então vamos rearranjar a fórmula:
Passo 3
Agora, vamos substituir as funções de $ p(t) $ e $ v(t) $ na equação da corrente:
Para simplificar essa expressão, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona senos de múltiplos ângulos:
Substituindo isso na equação da corrente:
Então, a corrente que entra pelo terminal positivo é:
Passo 4
Agora, queremos calcular a carga $ Q $ entregue ao elemento no intervalo de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $ segundos. A carga elétrica é a integral da corrente em relação ao tempo:
Substituindo a expressão da corrente que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
A integral de $ \cos(2t) $ é $ \frac{\sin(2t)}{2} $, então:
Calculando os valores:
Resposta
A corrente que entra pelo terminal positivo é $ i(t) = 6 \cos(2t) $ amperes e a carga entregue ao elemento no intervalo de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $ segundos é $ Q = 3 $ coulombs.