8-3 Um próton de velocidade 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s} é lançado em ângulo reto com um campo de indução magnética uniforme de 0,1 \mathrm{~T}. (a) De quanto a trajetória da partícula se desvia de uma linha reta depois de percorrida uma distância de 1 cm ? (b) Quanto ternpo leva o próton para percorrer um arco de 90^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado diz que um próton (massa m e carga q) penetra perpendicularmente a um campo magnético uniforme de intensidade B com velocidade v. Nesse caso a força de Lorentz faz com que o próton execute movimento circular uniforme de raio
r = \frac{m\,v}{q\,B}.
Para (a) queremos o desvio em relação à reta tangente depois de percorrer um arco de comprimento s=1{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{m}; para isso usamos a fórmula da sagita (desvio)
y = r\bigl(1 - \cos\theta\bigr),
onde \theta = s/r.
Para (b) queremos o tempo para percorrer um ângulo de \pi/2, dado por
t = \frac{\theta}{\omega} \quad\text{com}\quad \omega = \frac{v}{r} = \frac{q\,B}{m} \quad\text{e}\quad \theta = \frac{\pi}{2}.

Passo 2

Calculamos primeiro o raio da trajetória. Usamos
m = 1{,}673\times10^{-27}\,\mathrm{kg}, \quad q = 1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}, \quad v = 1{,}0\times10^{7}\,\mathrm{m/s}, \quad B = 0{,}10\,\mathrm{T}.
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r = \frac{(1{,}673\times10^{-27})(1{,}0\times10^{7})}{(1{,}602\times10^{-19})(0{,}10)} \approx 1{,}04\,\mathrm{m}.

Passo 3

Para (a) o arco de comprimento s=1{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{m} corresponde a um ângulo
\theta = \frac{s}{r} \approx \frac{1{,}0\times10^{-2}}{1{,}04} \approx 9{,}58\times10^{-3}\,\mathrm{rad}.
O desvio em relação à reta tangente é
y = r\bigl(1 - \cos\theta\bigr) \approx 1{,}04\!\times\!\bigl(1 - \cos(9{,}58\times10^{-3})\bigr) \approx 4{,}8\times10^{-5}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Para (b) o próton percorre um ângulo \theta = \pi/2. A velocidade angular é
\omega = \frac{v}{r} = \frac{1{,}0\times10^{7}}{1{,}04}\approx9{,}58\times10^{6}\,\mathrm{rad/s}.
O tempo é
t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/2}{9{,}58\times10^{6}} \approx 1{,}6\times10^{-7}\,\mathrm{s}.

Resposta

(a) 4{,}8\times10^{-5}\,\mathrm{m}
(b) 1{,}6\times10^{-7}\,\mathrm{s}

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