Potencial com atração quadrática e repulsão quártica. Considere um sistema de massa efetiva m, com a energia potencial representada por:
U(x)=U_{0}\left[-2\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{4}\right] .
Sendo as constantes U_{0}>0, x_{0}>0 e U(x=0)= U(0)=0.
a) Encontre os pontos onde a força sobre o sistema é zero. Classifique esses pontos (estáveis ou instáveis).
b) Suponha que exista um pequeno deslocamento a partir de um ponto de equilíbrio, encontre a frequência angular para pequenas oscilações.

Passo 1

O enunciado fornece o potencial
U(x)=U_{0}\left[-2\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{4}\right],
com U_{0}>0, x_{0}>0 e U(0)=0. O problema pede:
  • (a) encontrar os pontos onde a força sobre o sistema é zero e classificar esses pontos como estáveis ou instáveis;
  • (b) supondo um pequeno deslocamento a partir de um ponto de equilíbrio, encontrar a frequência angular das pequenas oscilações.
As informações relevantes são: expressão de U(x) e que U_{0},x_{0} são positivos.

Passo 2

Lembrando que a força é dada por \,F(x)=-\dfrac{dU}{dx}\,. Portanto os pontos de força nula equivalem aos pontos críticos do potencial, onde \dfrac{dU}{dx}=0.
Para derivar U(x) é conveniente definir a variável adimensional \,y=\dfrac{x}{x_{0}}\,. Reescrevendo,
U(x)=U_{0}\bigl(-2y^{2}+y^{4}\bigr),\qquad y=\frac{x}{x_{0}}.
Usando a regra da cadeia, \dfrac{d}{dx} = \dfrac{1}{x_{0}}\dfrac{d}{dy}. Então
\frac{dU}{dx}=U_{0}\cdot\frac{1}{x_{0}}\frac{d}{dy}\bigl(-2y^{2}+y^{4}\bigr) =U_{0}\cdot\frac{1}{x_{0}}\bigl(-4y+4y^{3}\bigr).
Fatorando,
\frac{dU}{dx}=\frac{4U_{0}}{x_{0}}\,y\,(y^{2}-1).
Os pontos onde \dfrac{dU}{dx}=0 ocorrem quando cada fator se anula:
y=0\quad\text{ou}\quad y^{2}=1.
Voltando a x,
x=0\quad\text{ou}\quad x=\pm x_{0}.

Passo 3

Agora vamos classificar esses pontos pelo sinal da segunda derivada do potencial. A segunda derivada dá a curvatura local: se U''(x)>0 é mínimo local (equilíbrio estável), se U''(x)<0 é máximo local (equilíbrio instável).
Calculemos U''(x)=\dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}. A partir de \dfrac{dU}{dx}=\dfrac{4U_{0}}{x_{0}}\,y\,(y^{2}-1) e usando novamente \dfrac{d}{dx}=\dfrac{1}{x_{0}}\dfrac{d}{dy},
U''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{4U_{0}}{x_{0}}\,y\,(y^{2}-1)\right) =\frac{4U_{0}}{x_{0}}\cdot\frac{1}{x_{0}}\frac{d}{dy}\bigl(y(y^{2}-1)\bigr).
Derivando y(y^{2}-1) em relação a y:
\frac{d}{dy}\bigl(y(y^{2}-1)\bigr)=3y^{2}-1.
Portanto
U''(x)=\frac{4U_{0}}{x_{0}^{2}}\bigl(3y^{2}-1\bigr) =\frac{4U_{0}}{x_{0}^{2}}\Bigl(3\Bigl(\frac{x}{x_{0}}\Bigr)^{2}-1\Bigr).
Avaliando nos pontos críticos:
  • Em x=0 ( y=0):
U''(0)=\frac{4U_{0}}{x_{0}^{2}}(3\cdot0^{2}-1)=-\frac{4U_{0}}{x_{0}^{2}}<0,
logo x=0 é um máximo local → equilíbrio instável.
  • Em x=\pm x_{0} ( y=\pm1):
U''(\pm x_{0})=\frac{4U_{0}}{x_{0}^{2}}(3\cdot1^{2}-1)=\frac{4U_{0}}{x_{0}^{2}}\cdot2=\frac{8U_{0}}{x_{0}^{2}}>0,
logo x=\pm x_{0} são mínimos locais → equilíbrios estáveis.

Passo 4

Agora vamos calcular a frequência angular das pequenas oscilações ao redor de um ponto de equilíbrio estável. A ideia física/matemática: para pequenas variações \xi em torno de um equilíbrio x_{\rm eq}, faz-se a expansão de Taylor de U(x) até a ordem quadrática:
U(x_{\rm eq}+\xi)\approx U(x_{\rm eq})+\underbrace{U'(x_{\rm eq})}_{=0}\xi+\tfrac{1}{2}U''(x_{\rm eq})\xi^{2}+\cdots
Como U'(x_{\rm eq})=0, a primeira contribuição é quadrática, e o sistema se comporta como um oscilador harmônico com constante efetiva k_{\rm eff}=U''(x_{\rm eq}). Para um oscilador harmônico a massa m tem frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k_{\rm eff}}{m}}=\sqrt{\frac{U''(x_{\rm eq})}{m}}.
Essa é a fórmula que usaremos; ela vem diretamente da equação do movimento linearizada m\ddot{\xi}=-U''(x_{\rm eq})\xi.

Passo 5

Aplicando a fórmula aos mínimos em x_{\rm eq}=\pm x_{0}, com U''(\pm x_{0})=\dfrac{8U_{0}}{x_{0}^{2}}, obtemos
\omega=\sqrt{\frac{U''(\pm x_{0})}{m}}=\sqrt{\frac{8U_{0}}{m x_{0}^{2}}}.
Observação útil: se tentássemos aplicar a mesma fórmula em x_{\rm eq}=0, como U''(0)=-\dfrac{4U_{0}}{x_{0}^{2}}<0, obteríamos \omega^{2}<0, o que corresponde a solução exponencial (instabilidade) e não a oscilações reais. Isso confirma que x=0 é instável.

Resposta

x=0,\\ \pm x_{0}
x=0 — instável (máximo local); \;x=\pm x_{0} — estáveis (mínimos locais).
\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{8U_{0}}{m x_{0}^{2}}}

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