Sendo as constantes U_{0}>0, x_{0}>0 e U(x=0)= U(0)=0.
a) Encontre os pontos onde a força sobre o sistema é zero. Classifique esses pontos (estáveis ou instáveis).
b) Suponha que exista um pequeno deslocamento a partir de um ponto de equilíbrio, encontre a frequência angular para pequenas oscilações.
(a) encontrar os pontos onde a força sobre o sistema é zero e classificar esses pontos como estáveis ou instáveis;
(b) supondo um pequeno deslocamento a partir de um ponto de equilíbrio, encontrar a frequência angular das pequenas oscilações.
As informações relevantes são: expressão de U(x) e que U_{0},x_{0} são positivos.
Passo 2
Lembrando que a força é dada por \,F(x)=-\dfrac{dU}{dx}\,. Portanto os pontos de força nula equivalem aos pontos críticos do potencial, onde \dfrac{dU}{dx}=0.
Para derivar U(x) é conveniente definir a variável adimensional \,y=\dfrac{x}{x_{0}}\,. Reescrevendo,
Os pontos onde \dfrac{dU}{dx}=0 ocorrem quando cada fator se anula:
y=0\quad\text{ou}\quad y^{2}=1.
Voltando a x,
x=0\quad\text{ou}\quad x=\pm x_{0}.
Passo 3
Agora vamos classificar esses pontos pelo sinal da segunda derivada do potencial. A segunda derivada dá a curvatura local: se U''(x)>0 é mínimo local (equilíbrio estável), se U''(x)<0 é máximo local (equilíbrio instável).
Calculemos U''(x)=\dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}. A partir de \dfrac{dU}{dx}=\dfrac{4U_{0}}{x_{0}}\,y\,(y^{2}-1) e usando novamente \dfrac{d}{dx}=\dfrac{1}{x_{0}}\dfrac{d}{dy},
logo x=\pm x_{0} são mínimos locais → equilíbrios estáveis.
Passo 4
Agora vamos calcular a frequência angular das pequenas oscilações ao redor de um ponto de equilíbrio estável. A ideia física/matemática: para pequenas variações \xi em torno de um equilíbrio x_{\rm eq}, faz-se a expansão de Taylor de U(x) até a ordem quadrática:
Como U'(x_{\rm eq})=0, a primeira contribuição é quadrática, e o sistema se comporta como um oscilador harmônico com constante efetiva k_{\rm eff}=U''(x_{\rm eq}). Para um oscilador harmônico a massa m tem frequência angular
Observação útil: se tentássemos aplicar a mesma fórmula em x_{\rm eq}=0, como U''(0)=-\dfrac{4U_{0}}{x_{0}^{2}}<0, obteríamos \omega^{2}<0, o que corresponde a solução exponencial (instabilidade) e não a oscilações reais. Isso confirma que x=0 é instável.