Um sistema é descrito por uma uma energia potencial genérica U(x). Considere que a energia do sistema está muito próxima de um ponto de equilíbrio estável x_{0}, ou seja, iremos considerar pequenas oscilações. Utilizando expansão em série de Taylor, mostre que nesse caso a energia potencial U(x) e aproximadamente uma função quadrática. A partir desse resultado, indique qual será a constante elástica efetiva.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Foi dada uma energia potencial genérica U(x).
  • Considera-se que a energia do sistema está muito próxima de um ponto de equilíbrio estável x_{0} (ou seja, estamos estudando pequenas oscilações em torno de x_{0}).
  • O que se pede:
    1. Mostrar que, para pequenas oscilações, U(x) é aproximadamente uma função quadrática em x perto de x_{0}.
    2. A partir disso, indicar qual é a constante elástica efetiva.

Passo 2

Vamos escrever a expansão em série de Taylor de U(x) em torno de x_{0}. A fórmula da expansão de Taylor (com resto) para uma função suficientemente suave é
U(x)=U(x_{0})+U'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{1}{2}U''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+\frac{1}{6}U^{(3)}(x_{0})(x-x_{0})^{3}+\cdots.
Aqui cada termo significa:
  • U(x_{0}) é o valor da energia potencial no ponto x_{0}.
  • U'(x_{0}) é a derivada primeira de U em x_{0} (taxa de variação instantânea).
  • U''(x_{0}) é a derivada segunda em x_{0}, que mede a curvatura de U nesse ponto.
  • Os termos de ordem mais alta envolvem derivadas de ordem 3, 4, … e potências mais altas de (x-x_{0}).

Passo 3

Agora usamos a condição de ponto de equilíbrio. Em mecânica, um ponto de equilíbrio x_{0} satisfaz que a força é nula ali; como a força conservativa é F(x)=-U'(x), isso implica
U'(x_{0})=0.
Além disso, estabilidade do equilíbrio significa que U tem mínimo em x_{0}, portanto a curvatura é positiva:
U''(x_{0})>0.
Substituindo U'(x_{0})=0 na expansão de Taylor obtemos
U(x)=U(x_{0})+\frac{1}{2}U''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+\frac{1}{6}U^{(3)}(x_{0})(x-x_{0})^{3}+\cdots.

Passo 4

Agora invocamos a hipótese de pequenas oscilações: (x-x_{0}) é pequeno. Portanto os termos de ordem superior a (x-x_{0})^{2} são muito menores e podem ser desprezados à primeira aproximação. Mantendo apenas até a ordem 2, obtemos a aproximação quadrática
U(x)\approx U(x_{0})+\frac{1}{2}U''(x_{0})\,(x-x_{0})^{2}.
Isso mostra explicitamente que, perto de x_{0}, a energia potencial se comporta como uma parábola — ou seja, é aproximadamente uma função quadrática.

Passo 5

É conveniente mudar a variável para deslocamento pequeno. Defina o deslocamento
\eta \equiv x-x_{0}.
Então a aproximação fica
U(x)\approx U(x_{0})+\frac{1}{2}U''(x_{0})\,\eta^{2}.
Essa forma lembra exatamente a energia potencial de uma mola (Lei de Hooke), U_{\text{mola}}(\eta)=\tfrac{1}{2}k\eta^{2}. Comparando termo a termo, a constante elástica efetiva associada às pequenas oscilações é
k_{\text{efetivo}}=U''(x_{0}).

Passo 6

Uma verificação rápida pelo lado dinâmico: a força linearizada para pequenos \eta é
F(x)=-U'(x)\approx -U''(x_{0})\,\eta = -k_{\text{efetivo}}\,\eta,
que é exatamente a força de Hooke. Se o corpo tem massa m, a equação de movimento linearizada é
m\ddot{\eta}=-k_{\text{efetivo}}\,\eta,
que descreve um oscilador harmônico simples com frequência angular natural
\omega=\sqrt{\frac{k_{\text{efetivo}}}{m}}=\sqrt{\frac{U''(x_{0})}{m}}.
Reforçando: a aproximação é válida enquanto |\eta| for pequena o bastante para que os termos de ordem superior sejam desprezíveis; a condição de estabilidade exige U''(x_{0})>0.

Resposta

U(x)\approx U(x_{0})+\frac{1}{2}U''(x_{0})\,(x-x_{0})^{2}
k_{\text{efetivo}}=U''(x_{0})

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