Um sistema é descrito por uma uma energia potencial genérica
. Considere que a energia do sistema está muito próxima de um ponto de equilíbrio estável
, ou seja, iremos considerar pequenas oscilações. Utilizando expansão em série de Taylor, mostre que nesse caso a energia potencial
e aproximadamente uma função quadrática. A partir desse resultado, indique qual será a constante elástica efetiva.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Foi dada uma energia potencial genérica
. - Considera-se que a energia do sistema está muito próxima de um ponto de equilíbrio estável
(ou seja, estamos estudando pequenas oscilações em torno de ). - O que se pede:
- Mostrar que, para pequenas oscilações,
é aproximadamente uma função quadrática em perto de . - A partir disso, indicar qual é a constante elástica efetiva.
- Mostrar que, para pequenas oscilações,
Passo 2
Vamos escrever a expansão em série de Taylor de
em torno de
. A fórmula da expansão de Taylor (com resto) para uma função suficientemente suave é
Aqui cada termo significa:
-
é o valor da energia potencial no ponto . -
é a derivada primeira de em (taxa de variação instantânea). -
é a derivada segunda em , que mede a curvatura de nesse ponto. - Os termos de ordem mais alta envolvem derivadas de ordem 3, 4, … e potências mais altas de
.
Passo 3
Agora usamos a condição de ponto de equilíbrio. Em mecânica, um ponto de equilíbrio
satisfaz que a força é nula ali; como a força conservativa é
, isso implica
Além disso, estabilidade do equilíbrio significa que
tem mínimo em
, portanto a curvatura é positiva:
Substituindo
na expansão de Taylor obtemos
Passo 4
Agora invocamos a hipótese de pequenas oscilações:
é pequeno. Portanto os termos de ordem superior a
são muito menores e podem ser desprezados à primeira aproximação. Mantendo apenas até a ordem 2, obtemos a aproximação quadrática
Isso mostra explicitamente que, perto de
, a energia potencial se comporta como uma parábola — ou seja, é aproximadamente uma função quadrática.
Passo 5
É conveniente mudar a variável para deslocamento pequeno. Defina o deslocamento
Então a aproximação fica
Essa forma lembra exatamente a energia potencial de uma mola (Lei de Hooke),
. Comparando termo a termo, a constante elástica efetiva associada às pequenas oscilações é
Passo 6
Uma verificação rápida pelo lado dinâmico: a força linearizada para pequenos
é
que é exatamente a força de Hooke. Se o corpo tem massa
, a equação de movimento linearizada é
que descreve um oscilador harmônico simples com frequência angular natural
Reforçando: a aproximação é válida enquanto
for pequena o bastante para que os termos de ordem superior sejam desprezíveis; a condição de estabilidade exige
.