O potencial elétrico, ao longo de um fio condutor de 50 cm de comprimento, decresce linearmente de 30 \mu \mathrm{~V} numa extremidade até zero na outra extremidade. O fio tem 7 mm de raio, resistividade de 4,2 \cdot 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{~m} e é percorrido por uma corrente elétrica uniforme. Qual é o valor da corrente elétrica no fio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A diferença de potencial entre as extremidades do fio decresce linearmente de 30\\ \mu\mathrm{V} até 0. Ou seja, a queda total de potencial é \Delta V=30\\ \mu\mathrm{V}=30\times10^{-6}\\ \mathrm{V}.
    • Comprimento do fio: L=50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m}.
    • Raio do fio: r=7\\ \mathrm{mm}=0,007\\ \mathrm{m}.
    • Resistividade do material: \rho=4,2\cdot10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    • A corrente elétrica é uniforme ao longo do fio.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o valor da corrente elétrica I que percorre o fio.

Passo 2

Escolha do método (explicação conceitual e fórmulas que vamos usar).
  • A maneira mais direta é usar a lei de Ohm na forma macroscópica \Delta V=R\,I, onde:
    • \Delta V é a diferença de potencial entre as extremidades,
    • R é a resistência elétrica do fio,
    • I é a corrente que queremos encontrar.
  • Para um fio cilíndrico uniforme, a resistência é dada por
R=\rho\frac{L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (medida de quão resistente ao fluxo de corrente o material é),
  • L é o comprimento do condutor,
  • A é a área da secção transversal do fio.
  • A área da seção transversal do fio cilíndrico é a área de um círculo:
A=\pi r^{2},
onde r é o raio do fio.
  • Alternativa física (equivalente): pode-se pensar em campo elétrico E=\Delta V/L, densidade de corrente J=\sigma E com \sigma=1/\rho e I=J A. Isso dá a mesma expressão final I=\Delta V/(\rho L/A).

Passo 3

Calcular a área da secção transversal A.
  • Primeiro computar r^{2}:
r^{2}=(0,007)^2=0,000049=4,9\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Agora calcular A=\pi r^{2}:
A=\pi(0,007)^2=\pi\cdot4,9\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}.
Fazendo a multiplicação numérica:
A\approx3{,}14159265\times4{,}9\times10^{-5}=1{,}53938\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Calcular a resistência R do fio usando R=\rho\frac{L}{A}.
  • Calcular primeiro o produto \rho L:
\rho L=(4,2\times10^{-8})\times0,50=2,1\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Dividir por A:
R=\frac{2,1\times10^{-8}}{1,53938\times10^{-4}}\\ \Omega.
Fazendo a divisão com potências de 10:
R=\frac{2,1}{1,53938}\times10^{-8-(-4)}=\frac{2,1}{1,53938}\times10^{-4}.
Calculando a razão:
\frac{2,1}{1,53938}\approx1{,}364,
logo
R\approx1{,}364\times10^{-4}\\ \Omega=1,364\times10^{-4}\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a corrente I usando \Delta V=R I, ou seja I=\dfrac{\Delta V}{R}.
  • Substituindo \Delta V=30\times10^{-6}\\ \mathrm{V} e R=1{,}364\times10^{-4}\\ \Omega:
I=\frac{30\times10^{-6}}{1{,}364\times10^{-4}}\\ \mathrm{A}.
  • Fazer a conta com potências de 10:
I=\frac{30}{1{,}364}\times10^{-6-(-4)}=\frac{30}{1{,}364}\times10^{-2}.
\frac{30}{1{,}364}\approx21{,}99,
portanto
I\approx21{,}99\times10^{-2}\\ \mathrm{A}=0,2199\\ \mathrm{A}.
  • Arredondando para três algarismos significativos (condizente com os dados):
I\approx0,220\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência e interpretação (para ganhar confiança na resposta).
  • A queda de potencial é muito pequena ( 30\\ \mu\mathrm{V}) mas o fio tem uma área relativamente grande (raio 7\\ \mathrm{mm}), então a resistência total é pequena ( ~10^{-4}\\ \Omega), o que permite uma corrente da ordem de décimos de ampère. Isso faz sentido físico.
  • Resumo do método em uma frase: calculou-se a área da seção, obtivemos a resistência com R=\rho L/A e aplicamos I=\Delta V/R.

Resposta

I\approx0,220\\ \mathrm{A}

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