O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por V(x, y) = e^(-2 x) cos(y) e, a distância é medida em metros. Descreva o vetor unitário na direção e sentido associado à taxa de variação máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá o potencial elétrico no plano xy, que é volts. Queremos encontrar o vetor unitário na direção e sentido da taxa de variação máxima desse potencial. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a taxa de variação máxima de uma função em várias variáveis ocorre na direção do seu gradiente. O gradiente de , representado por , aponta na direção onde aumenta mais rapidamente, e a magnitude desse vetor representa a taxa dessa variação.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é composto pelas derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Então, o gradiente fica:

Passo 7

Agora, para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, precisamos normalizar . Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:

Passo 8

Finalmente, o vetor unitário na direção do gradiente é dado por:

Resposta

O vetor unitário na direção e sentido da taxa de variação máxima é:

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