O potencial de velocidade de um escoamento invíscido, incompressível e em regime permanente é
Onde x e y são dados em metros e
em
. Determine a pressão no ponto (
se a pressão no ponto
é 200 kPa . Despreze os efeitos das forças de campo neste escoamento.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A função potencial de velocidade é
. (Unidades: em metros e em .) - A pressão no ponto
é . - Pede-se a pressão no ponto
. - Diz para desprezar forças de campo (logo não há termo de potencial gravitacional a considerar).
Observação importante: o enunciado não fornece a densidade
do fluido. Vou primeiro derivar a expressão geral da pressão em função de
e depois avaliar numericamente para o caso usual de água,
(isto é uma suposição comum; se o problema pedir outro fluido, basta substituir
).
Passo 2
Relação entre potencial e velocidade (aulas rápidas):
- Para um escoamento potencial (inviscível, incompressível e irrotacional) a velocidade em componentes cartesianas é dada pelas derivadas parciais do potencial de velocidade:
onde
é a componente da velocidade na direção
(m/s) e
na direção
(m/s).
- Vamos calcular essas derivadas para
.
Cálculo de
e
:
Expliquei cada termo: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Passo 3
Velocidades nos pontos dados (substituir números nas expressões obtidas):
- No ponto
:
Logo a velocidade escalar em
é
- No ponto
:
Logo a velocidade escalar em
é
Interpretação curta: nesses pontos o escoamento está puramente na direção
(componente
) e a velocidade aumenta de
para
.
Passo 4
Usar Bernoulli para escoamento potencial e estacionário:
- Para escoamento invíscido, incompressível, permanente e sem forças de campo, a equação de Bernoulli vale em todo o campo (no caso de escoamento irrotacional o termo de constante é o mesmo para todas as linhas de corrente). A forma que usaremos é
Aqui
é a pressão (Pa),
é a densidade do fluido (
) e
é a velocidade escalar (m/s).
Comparando dois pontos quaisquer
e
obtemos
Isolando
:
Passo 5
Aplicar a fórmula com os valores numéricos:
- Sabemos
, , . Então
Logo
Agora avaliar para a densidade típica da água
(suposição):
Interpretação física: a velocidade aumenta muito entre os pontos, o termo cinético
cresce, portanto a pressão diminui — isto é coerente com o princípio de Bernoulli.