O potencial de velocidade de um escoamento invíscido, incompressível e em regime permanente é
\varphi=2 x^{2} y-(2 / 3) y^{3}
Onde x e y são dados em metros e \varphi em \mathrm{m} 2 / \mathrm{s}. Determine a pressão no ponto ( \mathrm{x}=2 \mathrm{~m}, \mathrm{y}= 2 \mathrm{~m}) se a pressão no ponto (\mathrm{x}=1 \mathrm{~m}, \mathrm{y}=1 \mathrm{~m}) é 200 kPa . Despreze os efeitos das forças de campo neste escoamento.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A função potencial de velocidade é \varphi(x,y)=2x^{2}y-\tfrac{2}{3}y^{3}. (Unidades: x,y em metros e \varphi em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.)
  • A pressão no ponto (x,y)=(1,1) é p(1,1)=200\\ \text{kPa}.
  • Pede-se a pressão no ponto (x,y)=(2,2).
  • Diz para desprezar forças de campo (logo não há termo de potencial gravitacional a considerar).
Observação importante: o enunciado não fornece a densidade \rho do fluido. Vou primeiro derivar a expressão geral da pressão em função de \rho e depois avaliar numericamente para o caso usual de água, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (isto é uma suposição comum; se o problema pedir outro fluido, basta substituir \rho).

Passo 2

Relação entre potencial e velocidade (aulas rápidas):
  • Para um escoamento potencial (inviscível, incompressível e irrotacional) a velocidade em componentes cartesianas é dada pelas derivadas parciais do potencial de velocidade:
u=\frac{\partial \varphi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \varphi}{\partial y},
onde u é a componente da velocidade na direção x (m/s) e v na direção y (m/s).
  • Vamos calcular essas derivadas para \varphi(x,y)=2x^{2}y-\tfrac{2}{3}y^{3}.
Cálculo de u e v:
u(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(2x^{2}y-\tfrac{2}{3}y^{3}\right)=4xy,
v(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(2x^{2}y-\tfrac{2}{3}y^{3}\right)=2x^{2}-2y^{2}.
Expliquei cada termo: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; ao derivar em relação a y tratamos x como constante.

Passo 3

Velocidades nos pontos dados (substituir números nas expressões obtidas):
  • No ponto (1,1):
u_{1}=u(1,1)=4\cdot1\cdot1=4\\ \mathrm{m/s},
v_{1}=v(1,1)=2\cdot1^{2}-2\cdot1^{2}=0\\ \mathrm{m/s}.
Logo a velocidade escalar em (1,1) é
V_{1}=\sqrt{u_{1}^{2}+v_{1}^{2}}=\sqrt{4^{2}+0^{2}}=4\\ \mathrm{m/s}.
  • No ponto (2,2):
u_{2}=u(2,2)=4\cdot2\cdot2=16\\ \mathrm{m/s},
v_{2}=v(2,2)=2\cdot2^{2}-2\cdot2^{2}=0\\ \mathrm{m/s}.
Logo a velocidade escalar em (2,2) é
V_{2}=\sqrt{u_{2}^{2}+v_{2}^{2}}=\sqrt{16^{2}+0^{2}}=16\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: nesses pontos o escoamento está puramente na direção x (componente v=0) e a velocidade aumenta de 4\\ \mathrm{m/s} para 16\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Usar Bernoulli para escoamento potencial e estacionário:
  • Para escoamento invíscido, incompressível, permanente e sem forças de campo, a equação de Bernoulli vale em todo o campo (no caso de escoamento irrotacional o termo de constante é o mesmo para todas as linhas de corrente). A forma que usaremos é
p+\tfrac{1}{2}\rho V^{2}=\text{constante}.
Aqui p é a pressão (Pa), \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}) e V é a velocidade escalar (m/s).
Comparando dois pontos quaisquer 1 e 2 obtemos
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho V_{1}^{2}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho V_{2}^{2}.
Isolando p_{2}:
p_{2}=p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho\bigl(V_{1}^{2}-V_{2}^{2}\bigr).

Passo 5

Aplicar a fórmula com os valores numéricos:
  • Sabemos p_{1}=200\\ \mathrm{kPa}=200000\\ \mathrm{Pa}, V_{1}=4\\ \mathrm{m/s}, V_{2}=16\\ \mathrm{m/s}. Então
V_{1}^{2}-V_{2}^{2}=4^{2}-16^{2}=16-256=-240.
Logo
p_{2}=200000+\tfrac{1}{2}\rho(-240)=200000-120\,\rho\quad\text{(Pa)}.
Agora avaliar para a densidade típica da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (suposição):
p_{2}=200000-120\cdot1000=200000-120000=80000\\ \text{Pa}=80\\ \text{kPa}.
Interpretação física: a velocidade aumenta muito entre os pontos, o termo cinético \tfrac{1}{2}\rho V^{2} cresce, portanto a pressão diminui — isto é coerente com o princípio de Bernoulli.

Resposta

p(2,2)=200000-120\,\rho\\ \text{Pa}
p(2,2)=80\ \text{kPa}\quad\text{(para }\rho=1000\ \mathrm{kg/m^{3}}\text{)}

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