Os componentes do vetor velocidade de um escoamento bidimensional e incompressível são dados por:
\begin{gathered} \mathrm{u}=2 \mathrm{xy} \\\ \mathrm{v}=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2} \end{gathered}
Mostre que este escoamento é irrotacional e que satisfaz a equação da conservação da massa.

Passo 1

O enunciado nos dá as componentes do campo de velocidade de um escoamento bidimensional (dependendo de x e y):
\begin{gathered} u=2xy,\\[4pt] v=x^{2}-y^{2}. \end{gathered}
O que é pedido:
  • Mostrar que o escoamento é irrotacional.
  • Mostrar que o escoamento satisfaz a equação da conservação da massa (continuidade) para o caso bidimensional.
Vou trabalhar diretamente com as fórmulas de derivadas parciais que aparecem nas condições de irrotacionalidade e de continuidade.]

Passo 2

Primeiro, lembrar claramente o que significa “conservação da massa” (continuidade) num escoamento bidimensional incompressível.
A equação da continuidade para um escoamento bidimensional incompressível é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Aqui \frac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial da componente u em relação a x (mantendo y fixo) e \frac{\partial v}{\partial y} é a derivada parcial de v em relação a y (mantendo x fixo). A condição diz que a divergência do campo velocidade é zero.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias para a continuidade.
Calcular \frac{\partial u}{\partial x} com u=2xy. Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y.
Calcular \frac{\partial v}{\partial y} com v=x^{2}-y^{2}. Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y.
Somando as duas:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=2y+(-2y)=0.
Conclusão parcial: a divergência é zero, portanto o campo velocidade satisfaz a equação da conservação da massa (continuidade) para escoamento incompressível.

Passo 4

Agora explicar o que significa “irrotacional” no contexto bidimensional e qual condição usar.
Em duas dimensões o vetor vorticidade tem apenas componente perpendicular ao plano xy (componente z). A componente z da vorticidade (às vezes chamada \omega_z) é dada por
\omega_{z}=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
O escoamento é irrotacional quando \omega_{z}=0 em todo ponto, ou seja quando \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais envolvidas na vorticidade.
Calcular \frac{\partial v}{\partial x} com v=x^{2}-y^{2}:
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x.
Calcular \frac{\partial u}{\partial y} com u=2xy:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.
Fazendo a diferença:
\omega_{z}=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=2x-2x=0.
Conclusão parcial: \omega_{z}=0 em todo o plano, logo o escoamento é irrotacional.

Passo 6

Comentário didático e reforço (opcional, mas útil para a prova): quando o escoamento é irrotacional existe uma função potencial de velocidade \varphi(x,y) tal que
u=\frac{\partial \varphi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \varphi}{\partial y}.
Podemos verificar explicitamente a existência de \varphi integrando u em relação a x:
\varphi(x,y)=\int u\,dx=\int 2xy\,dx = x^{2}y+g(y),
onde g(y) é função arbitrária de y. Derivando em relação a y e igualando a v:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x^{2}+g'(y)=x^{2}-y^{2}\quad\Rightarrow\quad g'(y)=-y^{2}.
Integrando g'(y):
g(y)=-\frac{1}{3}y^{3}+C.
Portanto uma potencial válida é
\varphi(x,y)=x^{2}y-\frac{1}{3}y^{3}+C,
confirmando de outro modo que o campo é irrotacional.

Resposta

O escoamento é irrotacional: \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0.
Satisfaz a equação da conservação da massa (continuidade): \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.

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