Os componentes do vetor velocidade de um escoamento bidimensional e incompressível são dados por:
Mostre que este escoamento é irrotacional e que satisfaz a equação da conservação da massa.
Passo 1
O enunciado nos dá as componentes do campo de velocidade de um escoamento bidimensional (dependendo de
e
):
O que é pedido:
- Mostrar que o escoamento é irrotacional.
- Mostrar que o escoamento satisfaz a equação da conservação da massa (continuidade) para o caso bidimensional.
Vou trabalhar diretamente com as fórmulas de derivadas parciais que aparecem nas condições de irrotacionalidade e de continuidade.]
Passo 2
Primeiro, lembrar claramente o que significa “conservação da massa” (continuidade) num escoamento bidimensional incompressível.
A equação da continuidade para um escoamento bidimensional incompressível é
Aqui
é a derivada parcial da componente
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo). A condição diz que a divergência do campo velocidade é zero.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias para a continuidade.
Calcular
com
. Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Calcular
com
. Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Somando as duas:
Conclusão parcial: a divergência é zero, portanto o campo velocidade satisfaz a equação da conservação da massa (continuidade) para escoamento incompressível.
Passo 4
Agora explicar o que significa “irrotacional” no contexto bidimensional e qual condição usar.
Em duas dimensões o vetor vorticidade tem apenas componente perpendicular ao plano
(componente
). A componente
da vorticidade (às vezes chamada
) é dada por
O escoamento é irrotacional quando
em todo ponto, ou seja quando
.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais envolvidas na vorticidade.
Calcular
com
:
Calcular
com
:
Fazendo a diferença:
Conclusão parcial:
em todo o plano, logo o escoamento é irrotacional.
Passo 6
Comentário didático e reforço (opcional, mas útil para a prova): quando o escoamento é irrotacional existe uma função potencial de velocidade
tal que
Podemos verificar explicitamente a existência de
integrando
em relação a
:
onde
é função arbitrária de
. Derivando em relação a
e igualando a
:
Integrando
:
Portanto uma potencial válida é
confirmando de outro modo que o campo é irrotacional.
Resposta
O escoamento é irrotacional:
Satisfaz a equação da conservação da massa (continuidade):
Satisfaz a equação da conservação da massa (continuidade):