PR10.5 Se um material tem tensão de escoamento \sigma_{e}=500 \mathrm{MPa}, determine o fator de segurança com relação ao escoamento se a teoria da tensão de cisalhamento máxima for considerada.

Passo 1

O enunciado dá somente que a tensão de escoamento é \sigma_{e}=500\\ \mathrm{MPa} e pede o fator de segurança com respeito ao escoamento usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima.
Informações fornecidas: \sigma_{e}=500\\ \mathrm{MPa}.
Pergunta: determinar o fator de segurança (numérico) segundo a teoria da tensão de cisalhamento máxima.
Observação importante: para calcular um fator de segurança numérico é necessário conhecer o estado de tensões aplicado ao material (por exemplo, as componentes \sigma_{x},\sigma_{y},\tau_{xy} ou as tensões principais \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}). Esse detalhe não foi fornecido no enunciado recebido.

Passo 2

Vou explicar didaticamente a teoria da tensão de cisalhamento máxima (critério de Tresca), que é a que o enunciado pede.
Conceito essencial: a teoria da tensão de cisalhamento máxima afirma que o escoamento começa quando a maior tensão de cisalhamento no estado de tensão atinge o mesmo valor que a tensão de cisalhamento que causa escoamento no ensaio uniaxial. No ensaio uniaxial de tração, o material escoa quando a tensão normal vale \sigma_{e}; nesse caso, a maior tensão de cisalhamento é
\tau_{\text{ensaiouniaxial}}=\frac{\sigma_{e}}{2}.
Agora, para um estado qualquer de tensões com tensões principais ordenadas \sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge\sigma_{3}, a maior tensão de cisalhamento no corpo é
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}.
O critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima) diz que o escoamento ocorre quando
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{e}}{2}.

Passo 3

Definição do fator de segurança segundo Tresca e derivação da fórmula prática (passo a passo, sem pular etapas).
Queremos um fator de segurança n tal que o estado de tensões real esteja abaixo do escoamento por esse fator, isto é, a tensão de cisalhamento real deve ser menor ou igual a \tau_{\text{ensaiouniaxial}}/n. Escrevendo:
\tau_{\max}\le\frac{1}{n}\,\frac{\sigma_{e}}{2}.
Substituindo \tau_{\max}=(\sigma_{1}-\sigma_{3})/2 obtemos
\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}\le\frac{\sigma_{e}}{2n}.
Multiplicando ambos os lados por 2 e resolvendo para n,
\sigma_{1}-\sigma_{3}\le\frac{\sigma_{e}}{n}\quad\Longrightarrow\quad n\le\frac{\sigma_{e}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}}.
Tomando a igualdade para definir o fator de segurança (valor usado em projeto),
\boxed{\,n=\frac{\sigma_{e}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}}\,}
ou, equivalente em termos de tensões de cisalhamento,
\boxed{\,n=\frac{\sigma_{e}/2}{\tau_{\max}}\,}.
Explicação das variáveis: \sigma_{e} é a tensão de escoamento em ensaio uniaxial; \sigma_{1} e \sigma_{3} são, respectivamente, a maior e a menor tensão principal do estado de tensões considerado; \tau_{\max} é a máxima tensão de cisalhamento do estado de tensões.

Passo 4

Como obter \sigma_{1} e \sigma_{3} se eu tiver as componentes de tensão em 2D (método prático passo a passo): suponha que você conheça \sigma_{x},\sigma_{y},\tau_{xy}. Primeiro calcule a média e o raio de Mohr:
\bar{\sigma}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
As duas tensões principais no plano são
\sigma_{1,2}=\bar{\sigma}\pm R.
No caso de tensão plana (sem tensão na direção z), há uma terceira tensão principal \sigma_{3}=0. Então ordene \sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge\sigma_{3} e use \sigma_{1} e \sigma_{3} na fórmula do passo anterior. Passo a passo para calcular n numa prova:
  1. Calcule \sigma_{1} e \sigma_{3} (usar a fórmula acima se só tiver \sigma_{x},\sigma_{y},\tau_{xy}).
  2. Calcule \sigma_{1}-\sigma_{3}.
  3. Calcule n=\dfrac{\sigma_{e}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}}.

Passo 5

Exemplo numérico (para fixar a ideia — este é um exemplo extra, não é o enunciado dado): suponha \sigma_{x}=100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-50\\ \mathrm{MPa}, \tau_{xy}=40\\ \mathrm{MPa}.
Calcule:
\bar{\sigma}=\frac{100+(-50)}{2}=25\\ \mathrm{MPa},
R=\sqrt{\left(\frac{100-(-50)}{2}\right)^{2}+40^{2}}=\sqrt{75^{2}+40^{2}}=\sqrt{7225}=85\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{1}=25+85=110\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{2}=25-85=-60\\ \mathrm{MPa}.
Com tensão plana, \sigma_{3}=0. Ordenando temos \sigma_{1}=110\\ \mathrm{MPa} e \sigma_{3}=-60\\ \mathrm{MPa} (o menor entre as três), portanto
\sigma_{1}-\sigma_{3}=110-(-60)=170\\ \mathrm{MPa}.
Assim
\tau_{\max}=\frac{170}{2}=85\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{\text{ensaiouniaxial}}=\frac{500}{2}=250\\ \mathrm{MPa},
e o fator de segurança pela teoria de Tresca é
n=\frac{\sigma_{e}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}}=\frac{500}{170}\approx 2{,}94.
Esse exemplo mostra como aplicar as fórmulas na prática.

Passo 6

Conclusão final sobre o enunciado recebido: com apenas \sigma_{e}=500\\ \mathrm{MPa} não é possível fornecer um valor numérico do fator de segurança. O que posso afirmar é a fórmula e o procedimento que você deve aplicar assim que tiver o estado de tensões (componentes ou tensões principais).

Resposta

Não é possível determinar numericamente — falta o estado de tensões (componentes \sigma_{x},\sigma_{y},\tau_{xy} ou as tensões principais \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}).
Fórmula a usar (teoria da tensão de cisalhamento máxima / Tresca):
n=\frac{\sigma_{e}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}}=\frac{\sigma_{e}/2}{\tau_{\max}}.

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