PR10.1 No caso do estado plano de tensão, em que as deformações principais no plano são dadas por
e
, mostre que a terceira deformação principal pode ser obtida a partir de
Passo 1
O enunciado dá um estado plano de tensão em que as deformações principais no plano são
e
e pede para mostrar que a terceira deformação principal (a fora do plano) vale
Informações relevantes fornecidas ou implicadas pelo enunciado:
- •As deformações principais no plano são \epsilon_{1},\ \epsilon_{2}.
- •Estado plano de tensão implica \sigma_{3}=0\ (tensão fora do plano nula).
- •Material isotrópico linear com módulo de Young E e razão de Poisson \nu.
Passo 2
Apresentar a relação constitutiva linear (Lei de Hooke para tensões e deformações principais em 3D) e explicar cada símbolo. Para um material isotrópico linear, nas direções principais temos:
Explicação dos termos:
Essas fórmulas dizem que a deformação numa direção depende da tensão nessa direção e das tensões nas direções perpendiculares, com fator
acorrentando os efeitos laterais.
Passo 3
Aplicar a condição de estado plano de tensão
nas equações do Passo 2. Substituindo
obtemos:
Aqui eu multipliquei as duas primeiras equações por
para ficar mais simples de manipular.
Passo 4
Resolver o sistema linear das duas primeiras equações para
e
em função de
e
. Começo isolando
na primeira:
Substituo essa expressão na segunda equação:
Desenvolvendo o lado direito:
Agrupando os termos em
:
Logo
Pela simetria (ou substituindo de volta), obtemos
Passo 5
Calcular
usando a terceira equação do Passo 3 e as expressões de
e
encontradas. Partimos de
Somando
com as fórmulas do Passo 4:
Factorizando:
Substituindo isso em
:
Podemos cancelar
nos dois lados:
Usando a fatoração
simplificamos
:
Passo 6
Interpretação física breve e incentivo. A expressão
mostra que, mesmo quando não há tensão fora do plano (
), haverá deformação fora do plano devido ao efeito de Poisson: quando o corpo é alongado/contraído no plano, ele se contrai/expande na direção perpendicular. Se
for pequeno, o efeito é pequeno; se
aproximar-se de
, a deformação fora do plano pode ficar grande (note que materiais reais têm
na maioria dos casos). Força nos estudos — isso aparece direto nas provas como aplicação direta das relações de Hooke sob condição
.