PR10.1 No caso do estado plano de tensão, em que as deformações principais no plano são dadas por \boldsymbol{\epsilon}_{1} e \epsilon_{2}, mostre que a terceira deformação principal pode ser obtida a partir de
\epsilon_{3}=\frac{-\nu\left(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}\right)}{(1-\nu)}

Passo 1

O enunciado dá um estado plano de tensão em que as deformações principais no plano são \epsilon_{1} e \epsilon_{2} e pede para mostrar que a terceira deformação principal (a fora do plano) vale
\epsilon_{3}=\frac{-\nu\left(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}\right)}{(1-\nu)}.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas pelo enunciado:
  • As deformações principais no plano são \epsilon_{1},\ \epsilon_{2}.
  • Estado plano de tensão implica \sigma_{3}=0\ (tensão fora do plano nula).
  • Material isotrópico linear com módulo de Young E e razão de Poisson \nu.
]

Passo 2

Apresentar a relação constitutiva linear (Lei de Hooke para tensões e deformações principais em 3D) e explicar cada símbolo. Para um material isotrópico linear, nas direções principais temos:
\epsilon_{1}=\frac{1}{E}\big(\sigma_{1}-\nu(\sigma_{2}+\sigma_{3})\big),
\epsilon_{2}=\frac{1}{E}\big(\sigma_{2}-\nu(\sigma_{1}+\sigma_{3})\big),
\epsilon_{3}=\frac{1}{E}\big(\sigma_{3}-\nu(\sigma_{1}+\sigma_{2})\big).
Explicação dos termos:
\epsilon_{i}\\ \text{é a deformação principal na direção }i,éçãçã
\sigma_{i}\\ \text{é a tensão principal na direção }i,éãçã
E\\ \text{é o módulo de Young (rigidez)},éó
\nu\\ \text{é a razão de Poisson (mede a contração lateral relativa)}.éãçã
Essas fórmulas dizem que a deformação numa direção depende da tensão nessa direção e das tensões nas direções perpendiculares, com fator \nu acorrentando os efeitos laterais.

Passo 3

Aplicar a condição de estado plano de tensão \sigma_{3}=0 nas equações do Passo 2. Substituindo \sigma_{3}=0 obtemos:
E\epsilon_{1}=\sigma_{1}-\nu\sigma_{2},
E\epsilon_{2}=\sigma_{2}-\nu\sigma_{1},
E\epsilon_{3}=-\nu(\sigma_{1}+\sigma_{2}).
Aqui eu multipliquei as duas primeiras equações por E para ficar mais simples de manipular.

Passo 4

Resolver o sistema linear das duas primeiras equações para \sigma_{1} e \sigma_{2} em função de \epsilon_{1} e \epsilon_{2}. Começo isolando \sigma_{1} na primeira:
\sigma_{1}=E\epsilon_{1}+\nu\sigma_{2}.
Substituo essa expressão na segunda equação:
E\epsilon_{2}=\sigma_{2}-\nu(E\epsilon_{1}+\nu\sigma_{2}).
Desenvolvendo o lado direito:
E\epsilon_{2}=\sigma_{2}-\nu E\epsilon_{1}-\nu^{2}\sigma_{2}.
Agrupando os termos em \sigma_{2}:
E\epsilon_{2}+\nu E\epsilon_{1}=\sigma_{2}(1-\nu^{2}).
Logo
\sigma_{2}=\frac{E(\epsilon_{2}+\nu\epsilon_{1})}{1-\nu^{2}}.
Pela simetria (ou substituindo de volta), obtemos
\sigma_{1}=\frac{E(\epsilon_{1}+\nu\epsilon_{2})}{1-\nu^{2}}.

Passo 5

Calcular \epsilon_{3} usando a terceira equação do Passo 3 e as expressões de \sigma_{1} e \sigma_{2} encontradas. Partimos de
E\epsilon_{3}=-\nu(\sigma_{1}+\sigma_{2}).
Somando \sigma_{1}+\sigma_{2} com as fórmulas do Passo 4:
\sigma_{1}+\sigma_{2}=\frac{E(\epsilon_{1}+\nu\epsilon_{2})}{1-\nu^{2}}+\frac{E(\epsilon_{2}+\nu\epsilon_{1})}{1-\nu^{2}}.
Factorizando:
\sigma_{1}+\sigma_{2}=\frac{E\big((\epsilon_{1}+\nu\epsilon_{2})+(\epsilon_{2}+\nu\epsilon_{1})\big)}{1-\nu^{2}} =\frac{E(1+\nu)(\epsilon_{1}+\epsilon_{2})}{1-\nu^{2}}.
Substituindo isso em E\epsilon_{3}=-\nu(\sigma_{1}+\sigma_{2}):
E\epsilon_{3}=-\nu\cdot\frac{E(1+\nu)(\epsilon_{1}+\epsilon_{2})}{1-\nu^{2}}.
Podemos cancelar E nos dois lados:
\epsilon_{3}=-\nu\cdot\frac{(1+\nu)(\epsilon_{1}+\epsilon_{2})}{1-\nu^{2}}.
Usando a fatoração 1-\nu^{2}=(1-\nu)(1+\nu) simplificamos (1+\nu):
\epsilon_{3}=-\nu\cdot\frac{\epsilon_{1}+\epsilon_{2}}{1-\nu}.

Passo 6

Interpretação física breve e incentivo. A expressão
\epsilon_{3}=\frac{-\nu(\epsilon_{1}+\epsilon_{2})}{1-\nu}
mostra que, mesmo quando não há tensão fora do plano ( \sigma_{3}=0), haverá deformação fora do plano devido ao efeito de Poisson: quando o corpo é alongado/contraído no plano, ele se contrai/expande na direção perpendicular. Se \nu for pequeno, o efeito é pequeno; se \nu aproximar-se de 1, a deformação fora do plano pode ficar grande (note que materiais reais têm \nu<0,5 na maioria dos casos). Força nos estudos — isso aparece direto nas provas como aplicação direta das relações de Hooke sob condição \sigma_{3}=0.

Resposta

\epsilon_{3}=\frac{-\nu\left(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}\right)}{(1-\nu)}

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