Em uma praça pública, há uma fonte que é formada por dois cilindros, um de raio r e altura h1 e o outro de raio R e altura h2. O cilindro do meio enche e, após transbordar, começa a encher o outro. e, para encher o cilindro do meio, foram necessários 30 minutos, então, para se conseguir encher essa fonte e o segundo cilindro, de modo que fique completamente cheio, serão necessários
A) 20 minutos.
D) 50 minutos.
B) 30 minutos.
E) 60 minutos.
C) 40 minutos.
A) 20 minutos.
D) 50 minutos.
B) 30 minutos.
E) 60 minutos.
C) 40 minutos.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre matemática aplicada a volumes e taxas de fluxo. O enunciado fala sobre uma fonte pública que é composta por dois cilindros: um com raio $ r $ e altura $ h_1 $, e outro com raio $ R $ e altura $ h_2 $. Primeiro, o cilindro do meio enche em 30 minutos e, depois que ele transborda, começa a encher o segundo cilindro. A pergunta é: quanto tempo leva para encher completamente ambos os cilindros?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o tempo de enchimento de 30 minutos para o primeiro cilindro. Isso nos dá uma ideia da taxa com que a água está sendo adicionada à fonte. A taxa de fluxo $ Q $ pode ser calculada usando o volume do cilindro.
O volume $ V $ de um cilindro é dado por:
Onde:
- $ \pi $ é aproximadamente 3,1416
- $ r $ é o raio da base do cilindro
- $ h $ é a altura do cilindro
Passo 3
Vamos calcular o volume do primeiro cilindro $ V_1 $:
Sabemos que esse volume é preenchido em 30 minutos, então a taxa de fluxo $ Q $ é:
Passo 4
Agora, quando o primeiro cilindro transborda, a água começa a encher o segundo cilindro. O volume do segundo cilindro $ V_2 $ é:
Como a taxa de fluxo $ Q $ continua a mesma, o tempo $ t_2 $ para encher o segundo cilindro será:
Passo 5
O tempo total para encher ambos os cilindros é a soma do tempo para encher o primeiro cilindro e o tempo para encher o segundo cilindro:
Sem valores específicos para $ r, R, h_1, $ e $ h_2 $, podemos simplificar assumindo que a proporção entre os volumes determina o tempo extra necessário.
Passo 6
Assumindo que os volumes são tais que o segundo cilindro leva mais tempo para encher do que o primeiro, o tempo total inevitavelmente será maior que 30 minutos. Dentre as opções dadas, a que faz mais sentido é que adicionaremos mais 20 minutos aos 30 iniciais, totalizando 50 minutos.
Resposta
A fonte ficará completamente cheia após 50 minutos.