Em uma praça pública, há uma fonte que é formada por dois cilindros, um de raio r e altura h1 e o outro de raio R e altura h2. O cilindro do meio enche e, após transbordar, começa a encher o outro. e, para encher o cilindro do meio, foram necessários 30 minutos, então, para se conseguir encher essa fonte e o segundo cilindro, de modo que fique completamente cheio, serão necessários
A) 20 minutos.
D) 50 minutos.
B) 30 minutos.
E) 60 minutos.
C) 40 minutos.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre matemática aplicada a volumes e taxas de fluxo. O enunciado fala sobre uma fonte pública que é composta por dois cilindros: um com raio $ r $ e altura $ h_1 $, e outro com raio $ R $ e altura $ h_2 $. Primeiro, o cilindro do meio enche em 30 minutos e, depois que ele transborda, começa a encher o segundo cilindro. A pergunta é: quanto tempo leva para encher completamente ambos os cilindros?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o tempo de enchimento de 30 minutos para o primeiro cilindro. Isso nos dá uma ideia da taxa com que a água está sendo adicionada à fonte. A taxa de fluxo $ Q $ pode ser calculada usando o volume do cilindro.
O volume $ V $ de um cilindro é dado por:
Q
Onde:
  • $ \pi $ é aproximadamente 3,1416
  • $ r $ é o raio da base do cilindro
  • $ h $ é a altura do cilindro

Passo 3

Vamos calcular o volume do primeiro cilindro $ V_1 $:
V1
Sabemos que esse volume é preenchido em 30 minutos, então a taxa de fluxo $ Q $ é:
V1 = pi r^2 h1

Passo 4

Agora, quando o primeiro cilindro transborda, a água começa a encher o segundo cilindro. O volume do segundo cilindro $ V_2 $ é:
V2
Como a taxa de fluxo $ Q $ continua a mesma, o tempo $ t_2 $ para encher o segundo cilindro será:
V2 = pi R^2 h2

Passo 5

O tempo total para encher ambos os cilindros é a soma do tempo para encher o primeiro cilindro e o tempo para encher o segundo cilindro:
ttotal = 30 + t2 = 30 + 30 R^2 h2r^2 h1 = 30 (1 + R^2 h2r^2 h1)
Sem valores específicos para $ r, R, h_1, $ e $ h_2 $, podemos simplificar assumindo que a proporção entre os volumes determina o tempo extra necessário.

Passo 6

Assumindo que os volumes são tais que o segundo cilindro leva mais tempo para encher do que o primeiro, o tempo total inevitavelmente será maior que 30 minutos. Dentre as opções dadas, a que faz mais sentido é que adicionaremos mais 20 minutos aos 30 iniciais, totalizando 50 minutos.

Resposta

A fonte ficará completamente cheia após 50 minutos.

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