Uma prancha de madeira é levantada numa extremidade tal que faça um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Uma caixa de 2,0 \mathrm{~kg} é colocada neste plano inclinado distando 1 m da sua extremidade inferior. Suponha que a massa recebeu um " empurrãozinho " suficiente apenas para vencer o atrito estático. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a prancha é \mu=0, 2. a) Qual é a aceleração da caixa e b) qual é a velocidade da caixa ao alcançar a extremidade da prancha. Assuma que a velocidade inicial da caixa é zero.

Passo 1

O enunciado diz que uma caixa de massa 2,0 kg desliza por um plano inclinado que faz ângulo de 30^\circ com a horizontal, com coeficiente de atrito cinético \mu=0,2, partindo do repouso e percorrendo 1 m até a extremidade inferior. Queremos (a) a aceleração da caixa e (b) sua velocidade ao final da prancha, usando leis de Newton e cinemática.

Passo 2

Descrevemos as forças atuantes sobre a caixa:
– Peso mg, que decompomos em componente paralela ao plano mg\sin\theta e componente perpendicular mg\cos\theta.
– Reação normal N, que equilibra a componente perpendicular do peso:
N = mg\cos\theta.
– Força de atrito cinético f_k = \mu N.
Pela segunda lei de Newton na direção do plano inclinado:
m\,a = mg\sin\theta - f_k = mg\sin\theta - \mu N.

Passo 3

Substituindo N=mg\cos\theta na equação da força resultante e dividindo tudo por m, obtemos:
a = g\bigl(\sin\theta - \mu\cos\theta\bigr).

Passo 4

Agora plugamos os valores numéricos:
\sin30^\circ = 0,5,\quad \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,866,
\sin30^\circ - 0,2\cos30^\circ = 0,5 - 0,2\times0,866 = 0,3268,
a = 9,8\times0,3268 \approx 3,20\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Para achar a velocidade ao final dos 1 m, usamos a equação de movimento uniformemente variado, partindo do repouso v_0=0:
v^2 = v_0^2 + 2\,a\,\Delta s = 0 + 2\times3,20\times1 = 6,40,
v = \sqrt{6,40}\approx2,53\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A aceleração da caixa é aproximadamente 3,20 m/s ^2 e sua velocidade ao alcançar a extremidade da prancha é aproximadamente 2,53 m/s.

Exercícios relacionados