5- A prata cristaliza num sistema c f c. O raio do átomo de prata é 144,5 \mathrm{pm}. Calcule: a) a aresta da cela unitária; b) a densidade da prata. (R.: a) 408,7 \mathrm{pm}; b) 10,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} )

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara, sem resolver nada ainda):
  • Dado: a prata cristaliza em estrutura cúbica de face centrada (c f c).
  • Dado: o raio atômico da prata é \,r=144,5\\ \mathrm{pm}.
  • Pede-se:
    (a) a aresta da cela unitária, isto é \,a;
    (b) a densidade da prata, isto é \rho em \mathrm{g/cm^{3}}.
Informações constantes que vou usar (valores usuais):
  • Constante de Avogadro: \,N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Massa molar da prata (valor da tabela periódica): \,M(\mathrm{Ag})=107,87\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.

Passo 2

Entender a geometria da cela c f c e a relação entre \,a e \,r.
Explicação didática (sem pular etapas):
  • Na rede cúbica de face centrada (c f c) cada cela unitária tem átomos nos 8 vértices (cada um compartilhado por 8 celas) e um átomo em cada uma das 6 faces (cada um compartilhado por 2 celas). O número total de átomos efetivos por cela é Z=4 (porque 8\times\tfrac{1}{8}+6\times\tfrac{1}{2}=1+3=4).
  • Os átomos “se tocam” ao longo da diagonal de uma face da cela. Imagine uma face do cubo: a diagonal dessa face tem comprimento \,a\sqrt{2} (porque a diagonal de um quadrado de lado a vale \,a\sqrt{2}).
  • Ao longo dessa diagonal de face há um átomo de um vértice, o átomo do centro da face e outro átomo do vértice oposto; quando eles estão justapostos, a distância total ao longo da diagonal equivale a quatro raios atômicos: 4r.
  • Portanto a relação geométrica é
a\sqrt{2}=4r.
  • Isolando a obtemos a fórmula que vamos usar:
a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.

Passo 3

Calcular a aresta \,a a partir de \,r=144,5\\ \mathrm{pm} usando a fórmula obtida.
Aplicando a fórmula:
a=2\sqrt{2}\,r.
Substituindo \,r=144,5\\ \mathrm{pm}:
a=2\sqrt{2}\times144{,}5\\ \mathrm{pm}.
Agora calcular numericamente (passo a passo, sem pular etapas):
  • Primeiro calcule \,2\sqrt{2}. Sabendo que \sqrt{2}\approx1{,}41421356, tem-se
2\sqrt{2}\approx2\times1{,}41421356=2{,}82842712.
  • Multiplicando por \,144{,}5:
a\approx2{,}82842712\times144{,}5\approx408{,}721\\ \mathrm{pm}.
Arredondando razoavelmente (mesma precisão dos dados) temos
a\approx408{,}7\\ \mathrm{pm},
que coincide com o resultado esperado.

Passo 4

Converter \,a para centímetros e calcular o volume da cela unitária \,a^{3}, pois para densidade precisamos de volume em \mathrm{cm^{3}}.
Conversões e passos:
  • Primeiro, converter \,a de picômetros para centímetros. Lembrando que 1\\ \mathrm{pm}=10^{-12}\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}, logo 1\\ \mathrm{pm}=10^{-10}\\ \mathrm{cm}.
  • Assim,
a=408{,}721\\ \mathrm{pm}=408{,}721\times10^{-10}\\ \mathrm{cm}=4{,}08721\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
(usar a notação científica facilita o cálculo de volumes).
Calcular o volume da cela:
a^{3}=(4{,}08721\times10^{-8}\\ \mathrm{cm})^{3}.
Elevando ao cubo:
a^{3}\approx4{,}08721^{3}\times10^{-24}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Calcule 4{,}08721^{3} passo a passo (aproximação controlada):
4{,}08721^{2}\approx16{,}704,\qquad 4{,}08721^{3}\approx16{,}704\times4{,}08721\approx68{,}2716.
Portanto
a^{3}\approx68{,}2716\times10^{-24}\\ \mathrm{cm^{3}}=6{,}82716\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 5

Explicar a fórmula da densidade cristalina e os símbolos usados.
Fórmula usada:
\rho=\frac{Z\,M}{N_A\,a^{3}},
onde:
  • \rho é a densidade em \mathrm{g/cm^{3}};
  • Z é o número de átomos por cela unitária (para c f c, Z=4);
  • M é a massa molar do elemento em \mathrm{g\\ mol^{-1}} (para Ag, M=107{,}87\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}});
  • N_A é a constante de Avogadro em \mathrm{mol^{-1}} ( N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}});
  • a^{3} é o volume da cela em \mathrm{cm^{3}} (calculado no passo anterior).
Interpretando: o numerador Z M dá a massa de Z átomos em gramas por mol, e dividindo por N_A transforma em massa por cela. Dividindo essa massa pelo volume da cela obtém-se a densidade.

Passo 6

Calcular a massa de átomos por cela unitária (massa da cela).
Massa da cela:
m_{\text{cela}}=\frac{Z\,M}{N_A}.
Substituindo números (cada número em TeX):
m_{\text{cela}}=\frac{4\times107{,}87\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}{6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}}.
Calcule o numerador e depois a divisão:
  • Numerador: 4\times107{,}87=431{,}48\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Dividindo:
m_{\text{cela}}\approx\frac{431{,}48}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g} =71{,}66\times10^{-23}\\ \mathrm{g}=7{,}166\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Calcular a densidade \rho dividindo a massa da cela pelo volume da cela.
Usar os valores que já obtemos:
\rho=\frac{m_{\text{cela}}}{a^{3}} =\frac{7{,}166\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{6{,}82716\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}}.
Fazendo a divisão (cuidando das potências de 10):
\rho\approx\frac{7{,}166}{0{,}682716}\approx10{,}49\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Arredondando de acordo com as cifras iniciais (raio com quatro dígitos significativos), obtemos
\rho\approx10{,}5\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 8

Resumo final e checagem rápida:
  • A aresta calculada a partir de \,r=144{,}5\\ \mathrm{pm} deu \,a\approx408{,}7\\ \mathrm{pm}, que é consistente com a relação geométrica da estrutura c f c.
  • A densidade calculada usando Z=4, M(\mathrm{Ag})=107{,}87\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} e N_A padrão deu \rho\approx10{,}5\\ \mathrm{g/cm^{3}}, em acordo com o resultado esperado.

Resposta

(a) a\approx408{,}7\\ \mathrm{pm}
(b) \rho\approx10{,}5\\ \mathrm{g/cm^{3}}

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