5- A prata cristaliza num sistema
. O raio do átomo de prata é
. Calcule: a) a aresta da cela unitária; b) a densidade da prata. (R.: a)
; b)
)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara, sem resolver nada ainda):
- Dado: a prata cristaliza em estrutura cúbica de face centrada (c f c).
- Dado: o raio atômico da prata é
. - Pede-se:
(a) a aresta da cela unitária, isto é;
(b) a densidade da prata, isto éem .
Informações constantes que vou usar (valores usuais):
- Constante de Avogadro:
. - Massa molar da prata (valor da tabela periódica):
.
Passo 2
Entender a geometria da cela c f c e a relação entre
e
.
Explicação didática (sem pular etapas):
- Na rede cúbica de face centrada (c f c) cada cela unitária tem átomos nos 8 vértices (cada um compartilhado por 8 celas) e um átomo em cada uma das 6 faces (cada um compartilhado por 2 celas). O número total de átomos efetivos por cela é
(porque ). - Os átomos “se tocam” ao longo da diagonal de uma face da cela. Imagine uma face do cubo: a diagonal dessa face tem comprimento
(porque a diagonal de um quadrado de lado vale ). - Ao longo dessa diagonal de face há um átomo de um vértice, o átomo do centro da face e outro átomo do vértice oposto; quando eles estão justapostos, a distância total ao longo da diagonal equivale a quatro raios atômicos:
. - Portanto a relação geométrica é
- Isolando
obtemos a fórmula que vamos usar:
Passo 3
Calcular a aresta
a partir de
usando a fórmula obtida.
Aplicando a fórmula:
Substituindo
:
Agora calcular numericamente (passo a passo, sem pular etapas):
- Primeiro calcule
. Sabendo que , tem-se
- Multiplicando por
:
Arredondando razoavelmente (mesma precisão dos dados) temos
que coincide com o resultado esperado.
Passo 4
Converter
para centímetros e calcular o volume da cela unitária
, pois para densidade precisamos de volume em
.
Conversões e passos:
- Primeiro, converter
de picômetros para centímetros. Lembrando que e , logo . - Assim,
(usar a notação científica facilita o cálculo de volumes).
Calcular o volume da cela:
Elevando ao cubo:
Calcule
passo a passo (aproximação controlada):
Portanto
Passo 5
Explicar a fórmula da densidade cristalina e os símbolos usados.
Fórmula usada:
onde:
-
é a densidade em ; -
é o número de átomos por cela unitária (para c f c, ); -
é a massa molar do elemento em (para Ag, ); -
é a constante de Avogadro em ( ); -
é o volume da cela em (calculado no passo anterior).
Interpretando: o numerador
dá a massa de
átomos em gramas por mol, e dividindo por
transforma em massa por cela. Dividindo essa massa pelo volume da cela obtém-se a densidade.
Passo 6
Calcular a massa de átomos por cela unitária (massa da cela).
Massa da cela:
Substituindo números (cada número em TeX):
Calcule o numerador e depois a divisão:
- Numerador:
. - Dividindo:
Passo 7
Calcular a densidade
dividindo a massa da cela pelo volume da cela.
Usar os valores que já obtemos:
Fazendo a divisão (cuidando das potências de 10):
Arredondando de acordo com as cifras iniciais (raio com quatro dígitos significativos), obtemos
Passo 8
Resumo final e checagem rápida:
- A aresta calculada a partir de
deu , que é consistente com a relação geométrica da estrutura c f c. - A densidade calculada usando
, e padrão deu , em acordo com o resultado esperado.
Resposta
(a)
(b)
(b)