No planeta X, existe um gás Y que obedece a equação de estado P=\frac{R T}{V_{m}-b}-\frac{a}{T V_{m}^{3}}, onde a, b e R são constantes determinadas lá no planeta X ( V_{m} é o volume molar do gás). Calcule as coordenadas críticas do gás \mathrm{Y}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}, \mathrm{P}_{\mathrm{c}}\right. e \left.\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right), sabendo que suas constantes valem a=12 \mathrm{~atm} . \mathrm{K} . \mathrm{L}^{3} . \mathrm{mol}^{-3} ; b=1 \mathrm{~L} . \mathrm{mol}^{-1} ; e R=4 \mathrm{~atm} . \mathrm{L} . \mathrm{mol}^{-1} . \mathrm{K}^{-1}.

Passo 1

O enunciado fornece a equação de estado do gás Y (no planeta X):
P=\frac{R T}{V_{m}-b}-\frac{a}{T V_{m}^{3}},
onde a, b e R são constantes. Valores numéricos fornecidos:
a=12\\ \mathrm{atm\cdot K\cdot L^{3}\cdot mol^{-3}},\qquad b=1\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}},\qquad R=4\\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
O que se pede:
  • Determinar as coordenadas críticas \;V_{c},\;P_{c} e T_{c} do gás Y.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): o ponto crítico numa isoterma P versus V_{m} é o ponto de inflexão horizontal da curva; isso significa que, para a temperatura crítica T_{c} e volume molar crítico V_{c}, as derivadas parciais em relação a V_{m} verificam
\left(\frac{\partial P}{\partial V_{m}}\right)_{T}=0 \qquad\text{e}\qquad \left(\frac{\partial^{2} P}{\partial V_{m}^{2}}\right)_{T}=0.
Breve aula sobre diferenciação que vamos usar:
  • A derivada de \dfrac{1}{x} é -\dfrac{1}{x^{2}}.
  • A derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Para uma função do tipo \dfrac{C}{(V_{m}-b)} usar regra da cadeia: derivada = -C/(V_{m}-b)^{2}.
    Vou aplicar essas condições ao P(V_{m},T) fornecido para obter equações que permitem resolver V_{c} e T_{c}, e então calcular P_{c}.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \left(\dfrac{\partial P}{\partial V_{m}}\right)_{T}.
Escrevendo a equação como soma de dois termos:
P=\underbrace{R T (V_{m}-b)^{-1}}_{A}-\underbrace{a\,T^{-1} V_{m}^{-3}}_{B}.
Derivando termo a termo em relação a V_{m} (mantendo T constante):
Derivada de A:
\frac{d}{dV_{m}}\big(RT (V_{m}-b)^{-1}\big)=RT\cdot(-1)(V_{m}-b)^{-2}=-\frac{R T}{(V_{m}-b)^{2}}.
Derivada de B:
\frac{d}{dV_{m}}\big(a\,T^{-1} V_{m}^{-3}\big)=a\,T^{-1}\cdot(-3)V_{m}^{-4}=-\frac{3a}{T V_{m}^{4}}.
Mas atenção: no sinal original B já tem menos (subtração), então ao somar as derivadas temos
\left(\frac{\partial P}{\partial V_{m}}\right)_{T}=-\frac{R T}{(V_{m}-b)^{2}} -\big(-\frac{3a}{T V_{m}^{4}}\big) = -\frac{R T}{(V_{m}-b)^{2}}+\frac{3a}{T V_{m}^{4}}.
Impondo a condição no ponto crítico \left(\dfrac{\partial P}{\partial V_{m}}\right)_{T}=0 resulta em:
-\frac{R T}{(V_{m}-b)^{2}}+\frac{3a}{T V_{m}^{4}}=0.
Multiplicando ambos os lados por T para simplificar:
\frac{R T^{2}}{(V_{m}-b)^{2}}=\frac{3a}{V_{m}^{4}}. \tag{1}

Passo 4

Calcular a segunda derivada \left(\dfrac{\partial^{2}P}{\partial V_{m}^{2}}\right)_{T}.
Partimos da expressão da primeira derivada:
\left(\frac{\partial P}{\partial V_{m}}\right)_{T}=-\frac{R T}{(V_{m}-b)^{2}}+\frac{3a}{T V_{m}^{4}}.
Derivando novamente em relação a V_{m}:
Derivada de -\dfrac{R T}{(V_{m}-b)^{2}}:
-\!R T \cdot \frac{d}{dV_{m}}\big((V_{m}-b)^{-2}\big) = -R T \cdot (-2)(V_{m}-b)^{-3} = \frac{2R T}{(V_{m}-b)^{3}}.
Derivada de \dfrac{3a}{T V_{m}^{4}}:
\frac{3a}{T}\cdot \frac{d}{dV_{m}}\big(V_{m}^{-4}\big)=\frac{3a}{T}\cdot(-4)V_{m}^{-5} = -\frac{12a}{T V_{m}^{5}}.
Somando:
\left(\frac{\partial^{2}P}{\partial V_{m}^{2}}\right)_{T}=\frac{2R T}{(V_{m}-b)^{3}}-\frac{12a}{T V_{m}^{5}}.
Impondo a condição no ponto crítico igual a zero:
\frac{2R T}{(V_{m}-b)^{3}}-\frac{12a}{T V_{m}^{5}}=0.
Multiplicando por T:
\frac{2R T^{2}}{(V_{m}-b)^{3}}=\frac{12a}{V_{m}^{5}}. \tag{2}

Passo 5

Resolver as equações (1) e (2) para V_{c}.
Das equações obtidas temos duas expressões para R T^{2} em função de V_{m}:
Da (1):
R T^{2}=\frac{3a (V_{m}-b)^{2}}{V_{m}^{4}}.
Da (2):
R T^{2}=\frac{6a (V_{m}-b)^{3}}{V_{m}^{5}},
pois isolando R T^{2} da equação (2) R T^{2}=\dfrac{12a}{2}\dfrac{(V_{m}-b)^{3}}{V_{m}^{5}}=6a\dfrac{(V_{m}-b)^{3}}{V_{m}^{5}}.
Igualando as duas expressões:
\frac{3a (V_{m}-b)^{2}}{V_{m}^{4}}=\frac{6a (V_{m}-b)^{3}}{V_{m}^{5}}.
Cancelar a (não nulo) e multiplicar por V_{m}^{5}:
3 (V_{m}-b)^{2} V_{m}=6 (V_{m}-b)^{3}.
Dividir por (V_{m}-b)^{2} (assumindo V_{m}\neq b):
3 V_{m}=6 (V_{m}-b).
Expandir e resolver:
3V_{m}=6V_{m}-6b \quad\Rightarrow\quad 6b=3V_{m}\quad\Rightarrow\quad V_{m}=2b.
Portanto o volume molar crítico é
V_{c}=2b.

Passo 6

Determinar T_{c} substituindo V_{m}=V_{c}=2b na equação (1).
Na equação (1):
\frac{R T^{2}}{(V_{m}-b)^{2}}=\frac{3a}{V_{m}^{4}}.
Com V_{m}=2b temos V_{m}-b=b e V_{m}^{4}=(2b)^{4}=16 b^{4}. Substituindo:
\frac{R T_{c}^{2}}{b^{2}}=\frac{3a}{16 b^{4}}.
Isolando T_{c}^{2}:
T_{c}^{2}=\frac{3a}{16 b^{2} R}.
Logo
T_{c}=\sqrt{\frac{3a}{16 b^{2} R}}.
Agora calcular numericamente usando a=12, b=1, R=4 (unidades conforme dados):
T_{c}^{2}=\frac{3\cdot 12}{16\cdot 1^{2}\cdot 4}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16},
portanto
T_{c}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}=0{,}75\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Determinar P_{c} usando a equação de estado no ponto crítico (V_{c},T_{c}).
A equação de estado é
P=\frac{R T}{V_{m}-b}-\frac{a}{T V_{m}^{3}}.
Substituir V_{m}=2b e T=T_{c}:
P_{c}=\frac{R T_{c}}{b}-\frac{a}{T_{c}(2b)^{3}}=\frac{R T_{c}}{b}-\frac{a}{8 b^{3} T_{c}}.
Para simplificar simbolicamente podemos usar T_{c}^{2}=\dfrac{3a}{16 b^{2} R}. Depois de manipular (detalhes algébricos mostrados a seguir) obtém-se uma forma limpa:
P_{c}=\frac{1}{4 b^{2}}\sqrt{\frac{aR}{3}}.
Agora calcular numericamente com a=12, R=4, b=1:
\sqrt{\frac{aR}{3}}=\sqrt{\frac{12\cdot 4}{3}}=\sqrt{16}=4,
então
P_{c}=\frac{1}{4\cdot 1^{2}}\cdot 4 =1\\ \mathrm{atm}.
(Se preferir ver a redução algébrica rápida: escrevendo R T_{c}=\dfrac{\sqrt{3aR}}{4b} e \dfrac{a}{8b^{3}T_{c}}=\dfrac{\sqrt{aR}}{2b\sqrt{3}}, ao subtrair e dividir por b chega-se a P_{c}=\dfrac{\sqrt{aR/3}}{4b^{2}}.)

Passo 8

Resumo e checagem rápida dos resultados: os valores simbólicos ficam simples e ao substituir os números fornecidos obtemos números simples e consistentes em unidades.
Você já chegou no fim — mandou bem em acompanhar as contas! Se quiser, eu escrevo rapidamente uma versão-resumo bem curta para decorar na prova.

Resposta

\;V_{c}=2b=2\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}
\;T_{c}=\sqrt{\dfrac{3a}{16b^{2}R}}=0{,}75\\ \mathrm{K}
\;P_{c}=\dfrac{1}{4b^{2}}\sqrt{\dfrac{aR}{3}}=1\\ \mathrm{atm}

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