No planeta X, existe um gás Y que obedece a equação de estado P=\frac{R T}{V_{m}-b}-\frac{a}{T V_{m}^{3}}, onde a, b e R são constantes determinadas lá no planeta X ( V_{m} é o volume molar do gás). Calcule as coordenadas críticas do gás \mathrm{Y}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}, \mathrm{P}_{\mathrm{c}}\right. e \left.\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right), sabendo que suas constantes valem a=12 \mathrm{~atm} . \mathrm{K} . \mathrm{L}^{3} . \mathrm{mol}^{-3} ; b=1 \mathrm{~L} . \mathrm{mol}^{-1} ; e R=4 \mathrm{~atm} . \mathrm{L} . \mathrm{mol}^{-1} . \mathrm{K}^{-1}.
Passo 1
O enunciado fornece a equação de estado do gás Y (no planeta X):
P=\frac{R T}{V_{m}-b}-\frac{a}{T V_{m}^{3}},
onde a, b e R são constantes. Valores numéricos fornecidos:
Determinar as coordenadas críticas \;V_{c},\;P_{c} e T_{c} do gás Y.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática): o ponto crítico numa isoterma P versus V_{m} é o ponto de inflexão horizontal da curva; isso significa que, para a temperatura crítica T_{c} e volume molar crítico V_{c}, as derivadas parciais em relação a V_{m} verificam
Para uma função do tipo \dfrac{C}{(V_{m}-b)} usar regra da cadeia: derivada = -C/(V_{m}-b)^{2}.
Vou aplicar essas condições ao P(V_{m},T) fornecido para obter equações que permitem resolver V_{c} e T_{c}, e então calcular P_{c}.
Passo 3
Calcular a primeira derivada \left(\dfrac{\partial P}{\partial V_{m}}\right)_{T}.
Escrevendo a equação como soma de dois termos:
P=\underbrace{R T (V_{m}-b)^{-1}}_{A}-\underbrace{a\,T^{-1} V_{m}^{-3}}_{B}.
Derivando termo a termo em relação a V_{m} (mantendo T constante):
Para simplificar simbolicamente podemos usar T_{c}^{2}=\dfrac{3a}{16 b^{2} R}. Depois de manipular (detalhes algébricos mostrados a seguir) obtém-se uma forma limpa:
(Se preferir ver a redução algébrica rápida: escrevendo R T_{c}=\dfrac{\sqrt{3aR}}{4b} e \dfrac{a}{8b^{3}T_{c}}=\dfrac{\sqrt{aR}}{2b\sqrt{3}}, ao subtrair e dividir por b chega-se a P_{c}=\dfrac{\sqrt{aR/3}}{4b^{2}}.)
Passo 8
Resumo e checagem rápida dos resultados: os valores simbólicos ficam simples e ao substituir os números fornecidos obtemos números simples e consistentes em unidades.
Você já chegou no fim — mandou bem em acompanhar as contas! Se quiser, eu escrevo rapidamente uma versão-resumo bem curta para decorar na prova.