A prata tem um raio atômico de 1,44 \AA. Qual seria a densidade (em g/cm³) da prata se ela cristalizasse nas seguintes estruturas:
Cúbica de face centrada (4 esferas por cela, a=2 R \sqrt{2} )

Passo 1

O enunciado pede: calcular a densidade da prata em unidades de g/cm³ quando ela cristaliza na estrutura cúbica de face centrada (FCC).
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Raio atômico: R = 1,44\\ \AA.
  • Estrutura FCC: há 4 átomos por cela unitária.
  • Parâmetro de rede para FCC (dado): a = 2 R \sqrt{2}.
    Dados físicos que vamos usar (valores padrão):
  • Massa atômica da prata: M = 107,8682\\ \text{g/mol}.
  • Número de Avogadro: N_A = 6,022\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}.

Passo 2

Converter o raio atômico de \AA para centímetros (cm), porque a densidade pedida é em g/cm³. Lembrete: 1\\ \AA = 10^{-8}\\ \text{cm}. Portanto
R = 1,44\\ \AA = 1,44\times10^{-8}\\ \text{cm}.
Aqui expliquei a conversão: multiplicamos por 10^{-8} para passar de angstrom para centímetros.

Passo 3

Calcular o parâmetro de rede a usando a fórmula fornecida a = 2 R \sqrt{2}. Nesta fórmula:
  • a é a aresta da cela cúbica (em cm),
  • R é o raio atômico (em cm),
  • \sqrt{2} aparece porque, na FCC, os átomos se tocam ao longo da diagonal da face e a diagonal da face vale a\sqrt{2}, que corresponde a 4R dividido por 2, resultando na relação dada. (O enunciado já deu a fórmula; aqui só explico a origem geométrica de forma curta.)
    Agora aplicando numericamente:
a = 2\cdot(1,44\times10^{-8})\cdot\sqrt{2} = 4,0729350528\times10^{-8}\\ \text{cm}.
Para facilitar os próximos cálculos, podemos usar a \approx 4,0729\times10^{-8}\\ \text{cm}.

Passo 4

Calcular o volume da cela unitária (V_{\text{cela}}). Em um cristal cúbico simples o volume é
V_{\text{cela}} = a^{3}.
Substituindo o valor de a:
V_{\text{cela}} = (4,0729350528\times10^{-8})^{3}\\ \text{cm}^{3} \approx 6,7565\times10^{-23}\\ \text{cm}^{3}.
Expliquei: elevamos a aresta ao cubo para obter o volume da célula cúbica.

Passo 5

Calcular a massa de um átomo de prata. A massa de uma mol de átomos é M (em g/mol); dividindo por N_A obtemos a massa de um átomo:
m_{\text{átomo}} = \frac{M}{N_A} = \frac{107,8682\\ \text{g/mol}}{6,022\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}} \approx 1,791235\times10^{-22}\\ \text{g}.á
Aqui expliquei: m_{\text{átomo}}á é a massa de um átomo individual, obtida dividindo a massa molar pelo número de Avogadro.

Passo 6

Calcular a massa contida numa cela unitária. Em FCC há 4 átomos por cela, logo
m_{\text{cela}} = 4\cdot m_{\text{átomo}} = 4\cdot(1,791235\times10^{-22})\\ \text{g} \approx 7,16494\times10^{-22}\\ \text{g}.á
Expliquei: multiplicamos a massa de um átomo pelo número de átomos efetivos por cela.

Passo 7

Calcular a densidade \rho como massa por volume:
\rho = \frac{m_{\text{cela}}}{V_{\text{cela}}} = \frac{7,16494\times10^{-22}\\ \text{g}}{6,7565\times10^{-23}\\ \text{cm}^{3}}.
Fazendo a divisão:
\rho \approx 10,61\\ \text{g/cm}^{3}.
Expliquei: dividimos a massa que está dentro de uma célula unitária pelo volume dessa célula para obter a densidade macroscópica do cristal hipotético.

Passo 8

Comentário final e checagem de plausibilidade (rápida): o valor obtido 10,61\\ \text{g/cm}^{3} é próximo do valor experimental conhecido da prata (por volta de 10,49\\ \text{g/cm}^{3}), então o resultado faz sentido — pequenas diferenças vêm de aproximações nos valores usados e do fato de que o “raio atômico” idealizado pode diferir do valor efetivo no cristal real.

Resposta

10,61\\ \text{g/cm}^{3}

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