A prata tem um raio atômico de
. Qual seria a densidade (em g/cm³) da prata se ela cristalizasse nas seguintes estruturas:
Cúbica de face centrada (4 esferas por cela,
)
Cúbica de face centrada (4 esferas por cela,
Passo 1
O enunciado pede: calcular a densidade da prata em unidades de g/cm³ quando ela cristaliza na estrutura cúbica de face centrada (FCC).
Informações fornecidas pelo enunciado:
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Raio atômico:
. - Estrutura FCC: há 4 átomos por cela unitária.
- Parâmetro de rede para FCC (dado):
.
Dados físicos que vamos usar (valores padrão): - Massa atômica da prata:
. - Número de Avogadro:
.
Passo 2
Converter o raio atômico de
para centímetros (cm), porque a densidade pedida é em g/cm³. Lembrete:
. Portanto
Aqui expliquei a conversão: multiplicamos por
para passar de angstrom para centímetros.
Passo 3
Calcular o parâmetro de rede
usando a fórmula fornecida
. Nesta fórmula:
-
é a aresta da cela cúbica (em cm), -
é o raio atômico (em cm), -
aparece porque, na FCC, os átomos se tocam ao longo da diagonal da face e a diagonal da face vale , que corresponde a dividido por 2, resultando na relação dada. (O enunciado já deu a fórmula; aqui só explico a origem geométrica de forma curta.)
Agora aplicando numericamente:
Para facilitar os próximos cálculos, podemos usar
.
Passo 4
Calcular o volume da cela unitária
. Em um cristal cúbico simples o volume é
Substituindo o valor de
:
Expliquei: elevamos a aresta ao cubo para obter o volume da célula cúbica.
Passo 5
Calcular a massa de um átomo de prata. A massa de uma mol de átomos é
(em g/mol); dividindo por
obtemos a massa de um átomo:
Aqui expliquei:
é a massa de um átomo individual, obtida dividindo a massa molar pelo número de Avogadro.
Passo 6
Calcular a massa contida numa cela unitária. Em FCC há 4 átomos por cela, logo
Expliquei: multiplicamos a massa de um átomo pelo número de átomos efetivos por cela.
Passo 7
Calcular a densidade
como massa por volume:
Fazendo a divisão:
Expliquei: dividimos a massa que está dentro de uma célula unitária pelo volume dessa célula para obter a densidade macroscópica do cristal hipotético.
Passo 8
Comentário final e checagem de plausibilidade (rápida): o valor obtido
é próximo do valor experimental conhecido da prata (por volta de
), então o resultado faz sentido — pequenas diferenças vêm de aproximações nos valores usados e do fato de que o “raio atômico” idealizado pode diferir do valor efetivo no cristal real.