A prata tem um raio atômico de 1,44 \AA. Qual seria a densidade (em g/cm³) da prata se ela cristalizasse nas seguintes estruturas:
Cúbica de corpo centrado (2 esferas por cela, a=4 / 3 R \sqrt{3} )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a densidade da prata no empacotamento cúbico de corpo centrado (BCC):
  • Raio atômico: R=1,44\\ \text{\AA}.
  • Número de átomos por cela unitária: 2 (informação dada).
  • Relação entre parâmetro de rede a e raio atômico R para BCC: a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}} (o enunciado indicou essa relação; aqui escrevi na forma convencional).
  • Precisamos calcular a densidade \rho em \text{g/cm}^3.
    Informações necessárias que vou usar (valores padrão):
  • Massa molar da prata: M_{\text{Ag}}=107{,}87\\ \text{g/mol} (valor típico de tabela).
  • Número de Avogadro: N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}.

Passo 2

Conceito usado: densidade da rede cristalina.
A densidade \rho de um sólido cristalino é dada por
\rho=\frac{\text{massa de átomos na cela}}{\text{volume da cela}}.á
Isto é, se houver n átomos por cela, a massa da cela vale n vezes a massa de um átomo. A massa de um átomo é \dfrac{M}{N_A}, onde M é a massa molar. O volume da cela cúbica é a^3. Portanto a fórmula prática é
\rho=\frac{n\cdot (M/N_A)}{a^3}.
Vou aplicar essa fórmula ao caso BCC com n=2.

Passo 3

Converter o raio atômico para centímetros (para que a densidade saia em \text{g/cm}^3).
Sabendo que 1\\ \text{\AA}=10^{-8}\\ \text{cm}, temos
R=1{,}44\\ \text{\AA}=1{,}44\times10^{-8}\\ \text{cm}.
Agora uso a relação para a (BCC):
a=\frac{4R}{\sqrt{3}}.
Substituindo R:
a=\frac{4\cdot(1{,}44\times10^{-8}\\ \text{cm})}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Calcular numericamente a.
Primeiro calcule o numerador: 4\cdot1{,}44\times10^{-8}=5{,}76\times10^{-8}\\ \text{cm}.
Como \sqrt{3}\approx1{,}7320508, temos
a=\frac{5{,}76\times10^{-8}}{1{,}7320508}\approx3{,}32609\times10^{-8}\\ \text{cm}.
Volume da cela cúbica:
a^3=(3{,}32609\times10^{-8}\\ \text{cm})^3.
Faço o cubo:
a^3\approx3{,}6803\times10^{-23}\\ \text{cm}^3.
(Expliquei: simplesmente elevo o valor de a ao cubo; mantenho notação científica para trabalhar sem calculadora excessiva.)

Passo 5

Calcular a massa dos átomos na cela.
Massa de um átomo de prata:
m_{\text{átomo}}=\frac{M_{\text{Ag}}}{N_A}=\frac{107{,}87\\ \text{g/mol}}{6{,}02214076\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}}.á
Calculando:
m_{\text{átomo}}\approx1{,}79104\times10^{-22}\\ \text{g}.á
Como há n=2 átomos por cela (informação do enunciado), a massa da cela é
m_{\text{cela}}=2\cdot m_{\text{átomo}}\approx2\cdot1{,}79104\times10^{-22}=3{,}58208\times10^{-22}\\ \text{g}.á

Passo 6

Aplicar a fórmula da densidade:
\rho=\frac{m_{\text{cela}}}{a^3}=\frac{3{,}58208\times10^{-22}\\ \text{g}}{3{,}6803\times10^{-23}\\ \text{cm}^3}.
Faço a divisão:
\rho\approx9{,}735\\ \text{g/cm}^3.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais), obtenho
\rho\approx9{,}74\\ \text{g/cm}^3.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check amigável): a prata na natureza cristaliza em estrutura FCC e tem densidade experimental \approx10{,}5\\ \text{g/cm}^3. Nosso resultado para uma hipotética BCC é menor, o que faz sentido físico porque BCC, com a mesma R, costuma dar empacotamento menos denso que FCC. Isso confirma que o valor está em escala plausível.

Resposta

9{,}74\\ \text{g/cm}^3

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