A prata tem um raio atômico de
. Qual seria a densidade (em g/cm³) da prata se ela cristalizasse nas seguintes estruturas:
Cúbica de corpo centrado (2 esferas por cela,
)
Cúbica de corpo centrado (2 esferas por cela,
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a densidade da prata no empacotamento cúbico de corpo centrado (BCC):
- Raio atômico:
. - Número de átomos por cela unitária:
(informação dada). - Relação entre parâmetro de rede
e raio atômico para BCC: (o enunciado indicou essa relação; aqui escrevi na forma convencional). - Precisamos calcular a densidade
em .
Informações necessárias que vou usar (valores padrão): - Massa molar da prata:
(valor típico de tabela). - Número de Avogadro:
.
Passo 2
Conceito usado: densidade da rede cristalina.
A densidade de um sólido cristalino é dada por
A densidade
Isto é, se houver
átomos por cela, a massa da cela vale
vezes a massa de um átomo. A massa de um átomo é
, onde
é a massa molar. O volume da cela cúbica é
. Portanto a fórmula prática é
Vou aplicar essa fórmula ao caso BCC com
.
Passo 3
Converter o raio atômico para centímetros (para que a densidade saia em
).
Sabendo que , temos
Sabendo que
Agora uso a relação para
(BCC):
Substituindo
:
Passo 4
Calcular numericamente
.
Primeiro calcule o numerador: .
Como , temos
Primeiro calcule o numerador:
Como
Volume da cela cúbica:
Faço o cubo:
(Expliquei: simplesmente elevo o valor de
ao cubo; mantenho notação científica para trabalhar sem calculadora excessiva.)
Passo 5
Calcular a massa dos átomos na cela.
Massa de um átomo de prata:
Massa de um átomo de prata:
Calculando:
Como há
átomos por cela (informação do enunciado), a massa da cela é
Passo 6
Aplicar a fórmula da densidade:
Faço a divisão:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais), obtenho
Passo 7
Verificação rápida (sanity check amigável): a prata na natureza cristaliza em estrutura FCC e tem densidade experimental
. Nosso resultado para uma hipotética BCC é menor, o que faz sentido físico porque BCC, com a mesma
, costuma dar empacotamento menos denso que FCC. Isso confirma que o valor está em escala plausível.