Um praticante de tiro com arco decide comprar um arco e um conjunto de flechas com as seguintes especificações:
Arco: Tamanho do arco - 74 in ; Peso de puxada: 52 lb a 28 in
Flechas: Ponta 75 gr ; Haste - 31 in no total, com 8,2 \mathrm{gr} per in; 220 fps em média;
Interprete o que cada uma desses dados representa e os expresse em unidades do SI, utilizando o esquema de “conversão em cadeia” de unidades apresentado em aula.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede que eu os interprete e converta para o SI usando conversão em cadeia:
  • Tamanho do arco: \,74\\ \mathrm{in}.
  • Peso de puxada: \,52\\ \mathrm{lb} (medido a \,28\\ \mathrm{in} de puxada).
  • Ponta da flecha: \,75\\ \mathrm{gr} (aqui \mathrm{gr} significa grain, a unidade tradicional em tiro com arco).
  • Haste: comprimento total \,31\\ \mathrm{in} e massa linear \,8{,}2\\ \mathrm{gr/in} (ou seja, \,8{,}2 grains por polegada).
  • Velocidade média da flecha: \,220\\ \mathrm{fps} (foot per second, pés por segundo).
O que devo entregar:
  • Explicar o que cada dado significa (curtinho) e convertê‑lo explicitamente para unidades do SI (metro, quilograma, newton, metro por segundo, etc.), mostrando a conversão em cadeia passo a passo.

Passo 2

Converter o comprimento do arco \,74\\ \mathrm{in} para metros, explicando a cadeia de conversão.
  • Lembrete de conversão: \,1\\ \mathrm{in} = 2{,}54\\ \mathrm{cm} (definido exatamente) e \,1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}.
74\\ \mathrm{in}\times\frac{2{,}54\\ \mathrm{cm}}{1\\ \mathrm{in}}\times\frac{1\\ \mathrm{m}}{100\\ \mathrm{cm}} =1{,}8796\\ \mathrm{m}.
Interpretação: esse número é o comprimento total do arco (típico de um arco recurvo ou longo) em metros.

Passo 3

Entender e converter o “peso de puxada” \,52\\ \mathrm{lb} medido a \,28\\ \mathrm{in}.
  • Interpretação: em tiro com arco “peso de puxada” (draw weight) é a força necessária para manter o arco totalmente empenado na distância de puxada indicada. Aqui a distância de referência é \,28\\ \mathrm{in}. Em engenharia usamos newtons para força.
  • Conversões úteis: 1\\ \mathrm{lbf}=4{,}4482216152605\\ \mathrm{N} (pound‑force para newton) e 1\\ \mathrm{in}=2{,}54\\ \mathrm{cm}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
    Converter a força:
52\\ \mathrm{lbf}\times\frac{4{,}4482216152605\\ \mathrm{N}}{1\\ \mathrm{lbf}}=231{,}31\\ \mathrm{N}\quad(\text{arred. }2\text{ casas}).
Converter a distância de referência da puxada:
28\\ \mathrm{in}\times\frac{2{,}54\\ \mathrm{cm}}{1\\ \mathrm{in}}\times\frac{1\\ \mathrm{m}}{100\\ \mathrm{cm}} =0{,}7112\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a força de \,52\\ \mathrm{lb} significa aproximadamente \,231{,}3\\ \mathrm{N} quando a corda está puxada \,0{,}7112\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Converter a massa da ponta \,75\\ \mathrm{gr} (grains) para quilogramas e gramas, mostrando a cadeia.
  • Fator: 1\\ \mathrm{grain}=64{,}79891\\ \mathrm{mg}=0{,}06479891\\ \mathrm{g}=6{,}479891\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}.
    Fazendo a cadeia:
75\\ \mathrm{gr}\times\frac{64{,}79891\\ \mathrm{mg}}{1\\ \mathrm{gr}}\times\frac{1\\ \mathrm{g}}{1000\\ \mathrm{mg}}\times\frac{1\\ \mathrm{kg}}{1000\\ \mathrm{g}} =0{,}0048599\\ \mathrm{kg}.
Em gramas:
0{,}0048599\\ \mathrm{kg}=4{,}8599\\ \mathrm{g}.
Interpretação: a ponta pesa cerca de 4{,}86\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Converter o comprimento da haste \,31\\ \mathrm{in} para metros e calcular a massa total da haste usando \,8{,}2\\ \mathrm{gr/in}.
  • Comprimento:
31\\ \mathrm{in}\times\frac{2{,}54\\ \mathrm{cm}}{1\\ \mathrm{in}}\times\frac{1\\ \mathrm{m}}{100\\ \mathrm{cm}} =0{,}7874\\ \mathrm{m}.
  • Massa total da haste (cadeia: \mathrm{gr/in}\to\mathrm{gr}\to\mathrm{g}\to\mathrm{kg}):
\text{massa}_{\text{haste}}=31\\ \mathrm{in}\times 8{,}2\\ \frac{\mathrm{gr}}{\mathrm{in}} =254{,}2\\ \mathrm{gr}.
254{,}2\\ \mathrm{gr}\times\frac{64{,}79891\\ \mathrm{mg}}{1\\ \mathrm{gr}}\times\frac{1\\ \mathrm{g}}{1000\\ \mathrm{mg}}\times\frac{1\\ \mathrm{kg}}{1000\\ \mathrm{g}} =0{,}016468\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: a haste (apenas a “haste”, sem ponta) pesa cerca de 16{,}47\\ \mathrm{g} e mede 0{,}7874\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Converter a massa linear \,8{,}2\\ \mathrm{gr/in} para \mathrm{kg/m} (útil para cálculos com densidade linear).
  • Primeiro expressar 8{,}2\\ \mathrm{gr/in} em \mathrm{kg} por polegada:
8{,}2\\ \frac{\mathrm{gr}}{\mathrm{in}}\times\frac{6{,}479891\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}}{1\\ \mathrm{gr}} =5{,}31351\times10^{-4}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{in}}.
  • Agora 1 polegada é 0{,}0254\\ \mathrm{m}, então
\left(5{,}31351\times10^{-4}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{in}}\right)\times\frac{1}{0{,}0254\\ \mathrm{m/in}} =0{,}02092\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}.
Interpretação: a haste tem massa linear aproximadamente \,0{,}02092\\ \mathrm{kg/m} (ou 20{,}92\\ \mathrm{g/m}).

Passo 7

Converter a velocidade \,220\\ \mathrm{fps} para \mathrm{m/s} (cadeia direta).
  • Fator: 1\\ \mathrm{ft}=0{,}3048\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{fps}=0{,}3048\\ \mathrm{m/s}.
220\\ \frac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s}}\times\frac{0{,}3048\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{ft}} =67{,}056\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
Interpretação: a velocidade média de 220\\ \mathrm{fps} corresponde a cerca de 67{,}06\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Calcular a massa total da flecha (haste + ponta) em quilogramas — útil para energia cinética se for necessário.
  • Já temos:
    \text{massa}_{\text{ponta}}=0{,}0048599\\ \mathrm{kg} e \text{massa}_{\text{haste}}=0{,}016468\\ \mathrm{kg}.
\text{massa}_{\text{total}}=0{,}0048599\\ \mathrm{kg}+0{,}016468\\ \mathrm{kg} =0{,}0213279\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: a flecha completa pesa cerca de 21{,}33\\ \mathrm{g} (ou 0{,}02133\\ \mathrm{kg}).

Resposta

Comprimento do arco: 1,8796\\ \mathrm{m}
Peso de puxada: 231,31\\ \mathrm{N} (medido a 0,7112\\ \mathrm{m} de puxada)
Massa da ponta: 0,0048599\\ \mathrm{kg} ( 4,8599\\ \mathrm{g})
Comprimento da haste: 0,7874\\ \mathrm{m}
Massa da haste (31 in a 8{,}2\\ \mathrm{gr/in}): 0,016468\\ \mathrm{kg} ( 16,468\\ \mathrm{g})
Massa linear da haste: 0,02092\\ \mathrm{kg/m}
Velocidade média da flecha: 67,056\\ \mathrm{m/s}
Massa total da flecha (ponta + haste): 0,0213279\\ \mathrm{kg}

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