Um físico apresentou uma teoria reformulando alguns conceitos nas leis da Mecânica Newtoniana. Nesta nova teoria, a expressão da intensidade da força gravitacional ( F ) entre duas partículas de massas m_{1} e m_{2}, separadas por uma distância r, é dada pela relação:
F=\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}\left(1+v^{2}+r \cdot a\right),onde v é a velocidade linear relativa e a é a aceleração relativa entre os 2 corpos envolvidos. Verifique e justifique se as afirmações a seguir são verdadeiras: (Dica: Aplicação dos teoremas de Bridgman e Buckinghan - verifique a dimensionalidade e homogeneidade da expressão nas situações propostas e justifíque sua resposta.)
A expressão está dimensionalmente correta se o conteúdo dos parênteses fosse:
1+\frac{v^{2}}{r a}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos e justifiquemos se a expressão da força
F=\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}\left(1+\frac{v^{2}}{r a}\right)
estaria dimensionalmente correta (i.e., homogênea em dimensões). Dados fornecidos que vamos usar explicitamente:
F,\; m_{1},\; m_{2},\; r,\; v,\; a
onde v é velocidade relativa e a é aceleração relativa. Precisamos checar a homogeneidade dimensional da equação (aplicação dos teoremas de Bridgman e Buckingham): todas as parcelas somadas devem ter a mesma dimensão (normalmente adimensional dentro do parênteses) e o lado direito deve ter a dimensão de força.

Passo 2

Breve aula (super direta) sobre dimensionalidade e homogeneidade:
  • Toda equação física válida deve ser homogênea em dimensão (Bridgman): ambos os lados devem ter as mesmas dimensões fundamentais.
  • Um termo adicionado a outro deve ter a mesma dimensão (não se pode somar comprimento com tempo).
  • Para formar combinações adimensionais usamos razões de quantidades com as mesmas dimensões; o Teorema de Buckingham diz que se temos k variáveis com r dimensões fundamentais podemos formar k-r grupos adimensionais independente(s).

Passo 3

Vamos identificar as dimensões (notação padrão: M para massa, L para comprimento, T para tempo).
  • Força: \;[F]=M\,L\,T^{-2}.
  • Massa: \;[m_{1}]=[m_{2}]=M.
  • Distância: \;[r]=L.
  • Velocidade: \;[v]=L\,T^{-1}.
  • Aceleração: \;[a]=L\,T^{-2}.

Passo 4

Calcular a dimensão do fator multiplicativo \dfrac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}:
\left[\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\right]=\frac{M\cdot M}{L^{2}}=M^{2}L^{-2}.
Isso é importante: se o conteúdo dos parênteses for adimensional, o lado direito terá dimensão M^{2}L^{-2}.

Passo 5

Verificar cada parcela dentro dos parênteses na proposta \displaystyle 1+\frac{v^{2}}{r a}.
  • O termo 1 é adimensional por definição.
  • Calcular a dimensão de \dfrac{v^{2}}{r a}:
[v^{2}]=\left(L\,T^{-1}\right)^{2}=L^{2}T^{-2},
[r a]=L\cdot (L\,T^{-2})=L^{2}T^{-2},
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\left[\frac{v^{2}}{r a}\right]=\frac{L^{2}T^{-2}}{L^{2}T^{-2}}=1\quad(\text{adimensional}).
Portanto, o parênteses \displaystyle \left(1+\frac{v^{2}}{r a}\right) é adimensional e as parcelas são compatíveis entre si — correto internamente.

Passo 6

Agora combine a dimensão do prefator com a do parênteses. O parênteses é adimensional, então a dimensão do lado direito da equação inteira é apenas a do prefator:
\left[\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\left(1+\frac{v^{2}}{r a}\right)\right]=M^{2}L^{-2}.
Comparar com a dimensão da força exigida:
[F]=M\,L\,T^{-2}.
Claramente
M^{2}L^{-2}\neq M\,L\,T^{-2},
ou seja, as dimensões não coincidem. Portanto a fórmula, mesmo com o parênteses proposto, não tem a dimensão de força.

Passo 7

Interpretação física e o que falta: para que a expressão tenha dimensão de força seria necessário multiplicar o lado direito por uma constante de proporção K cuja dimensão corrija a discrepância. Precisamos de K tal que
[K]\cdot M^{2}L^{-2}=M\,L\,T^{-2}.
Isolando [K]:
[K]=\frac{M\,L\,T^{-2}}{M^{2}L^{-2}}=M^{-1}L^{3}T^{-2}.
Essa é exatamente a dimensão da constante gravitacional universal \;G em Newton (ou de outra constante com as mesmas dimensões). Assim a forma correta dimensional seria, por exemplo,
F=G\,\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\left(1+\frac{v^{2}}{r a}\right),
onde G tem dimensão M^{-1}L^{3}T^{-2}.

Passo 8

Resumo pedagógico (para a prova):
  • Verifique dimensões de cada variável.
  • Termos somados devem ter mesma dimensão (no parênteses, o termo proposto é adimensional — ok).
  • Depois verifique o produto completo: o prefator \dfrac{m_1 m_2}{r^2} não tem dimensão de força; faltou uma constante com dimensão M^{-1}L^3T^{-2}. Esse é o erro que invalida a homogeneidade total da equação. Anote sempre: trocar somente o parênteses não resolve o problema se o prefator já tem dimensão errada.

Resposta

Não — a expressão ainda não fica dimensionalmente correta. O parênteses proposto é adimensional, mas o prefator \dfrac{m_{1}m_{2}}{r^{2}} tem dimensão M^{2}L^{-2}, diferente de [F]=M L T^{-2}; é necessária uma constante com dimensão M^{-1}L^{3}T^{-2} (por exemplo G) para tornar a fórmula homogênea.

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