Um físico apresentou uma teoria reformulando alguns conceitos nas leis da Mecânica Newtoniana. Nesta nova teoria, a expressão da intensidade da força gravitacional (
) entre duas partículas de massas
e
, separadas por uma distância
, é dada pela relação:
onde
é a velocidade linear relativa e
é a aceleração relativa entre os 2 corpos envolvidos. Verifique e justifique se as afirmações a seguir são verdadeiras: (Dica: Aplicação dos teoremas de Bridgman e Buckinghan - verifique a dimensionalidade e homogeneidade da expressão nas situações propostas e justifíque sua resposta.)
A expressão está dimensionalmente correta se o conteúdo dos parênteses fosse:
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos e justifiquemos se a expressão da força
estaria dimensionalmente correta (i.e., homogênea em dimensões). Dados fornecidos que vamos usar explicitamente:
onde
é velocidade relativa e
é aceleração relativa. Precisamos checar a homogeneidade dimensional da equação (aplicação dos teoremas de Bridgman e Buckingham): todas as parcelas somadas devem ter a mesma dimensão (normalmente adimensional dentro do parênteses) e o lado direito deve ter a dimensão de força.
Passo 2
Breve aula (super direta) sobre dimensionalidade e homogeneidade:
- Toda equação física válida deve ser homogênea em dimensão (Bridgman): ambos os lados devem ter as mesmas dimensões fundamentais.
- Um termo adicionado a outro deve ter a mesma dimensão (não se pode somar comprimento com tempo).
- Para formar combinações adimensionais usamos razões de quantidades com as mesmas dimensões; o Teorema de Buckingham diz que se temos
variáveis com dimensões fundamentais podemos formar grupos adimensionais independente(s).
Passo 3
Vamos identificar as dimensões (notação padrão:
para massa,
para comprimento,
para tempo).
- Força:
- Massa:
- Distância:
- Velocidade:
- Aceleração:
Passo 4
Calcular a dimensão do fator multiplicativo
:
Isso é importante: se o conteúdo dos parênteses for adimensional, o lado direito terá dimensão
.
Passo 5
Verificar cada parcela dentro dos parênteses na proposta
.
- O termo
é adimensional por definição. - Calcular a dimensão de
:
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Portanto, o parênteses
é adimensional e as parcelas são compatíveis entre si — correto internamente.
Passo 6
Agora combine a dimensão do prefator com a do parênteses. O parênteses é adimensional, então a dimensão do lado direito da equação inteira é apenas a do prefator:
Comparar com a dimensão da força exigida:
Claramente
ou seja, as dimensões não coincidem. Portanto a fórmula, mesmo com o parênteses proposto, não tem a dimensão de força.
Passo 7
Interpretação física e o que falta: para que a expressão tenha dimensão de força seria necessário multiplicar o lado direito por uma constante de proporção
cuja dimensão corrija a discrepância. Precisamos de
tal que
Isolando
:
Essa é exatamente a dimensão da constante gravitacional universal
em Newton (ou de outra constante com as mesmas dimensões). Assim a forma correta dimensional seria, por exemplo,
onde
tem dimensão
.
Passo 8
Resumo pedagógico (para a prova):
- Verifique dimensões de cada variável.
- Termos somados devem ter mesma dimensão (no parênteses, o termo proposto é adimensional — ok).
- Depois verifique o produto completo: o prefator
não tem dimensão de força; faltou uma constante com dimensão . Esse é o erro que invalida a homogeneidade total da equação. Anote sempre: trocar somente o parênteses não resolve o problema se o prefator já tem dimensão errada.
Resposta
Não — a expressão ainda não fica dimensionalmente correta. O parênteses proposto é adimensional, mas o prefator
tem dimensão
, diferente de
; é necessária uma constante com dimensão
(por exemplo
) para tornar a fórmula homogênea.