Pré-Cálculo, Francisco Magalhães Gomes Verifique algebricamente se as equações a seguir permitem a definição da variável y como uma função da variável x.
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4

Passo 1

O enunciado fornece a equação
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 4
que é a circunferência de raio 2 e centro em (1,2). O conteúdo é “função implícita” e a ideia é resolver algebricamente para y em termos de x e verificar se existe um único valor de y para cada x.

Passo 2

Isolamos o termo que envolve y. Da equação
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 4
subtraímos (x-1)^{2} de ambos os lados, obtendo
(y-2)^{2} = 4 - (x-1)^{2}.

Passo 3

Para encontrar y, aplicamos raiz quadrada em ambos os lados:
y - 2 = \pm \sqrt{\,4 - (x-1)^{2}\,}.
Logo,
y = 2 \pm \sqrt{\,4 - (x-1)^{2}\,}.

Passo 4

Observamos que, para cada valor de x tal que 4 - (x-1)^{2}\ge0 (ou seja, x\in[-1,3]), existem dois valores possíveis de y:
y_{1}(x) = 2 + \sqrt{\,4 - (x-1)^{2}\,} \quad\text{e}\quad y_{2}(x) = 2 - \sqrt{\,4 - (x-1)^{2}\,}.
Como surgem duas soluções, não há uma definição única de y em função de x sem escolher uma das ramificações.

Resposta

A equação não define y como função única de x, pois há duas ramificações
y = 2 + \sqrt{\,4 - (x-1)^{2}\,} \quad\text{ou}\quad y = 2 - \sqrt{\,4 - (x-1)^{2}\,}.

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