Precisar, utilizando o método das tabelas de verdade, se as fórmulas seguintes são tautologias, contradições ou proposições simplesmente satisfatórias. Procuraremos limitar ao máximo os cálculos.
(\mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}) \Rightarrow(\mathrm{Q} \Rightarrow \mathrm{P})

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da tabela de verdade e classificar a fórmula
(P \Rightarrow Q)\Rightarrow(Q \Rightarrow P)
como tautologia, contradição ou simplesmente satisfatória. O conteúdo é lógica proposicional e vamos precisar conhecer o conectivo “implica” e a técnica da tabela de verdade.

Passo 2

Lembrando as definições:
– Uma fórmula é tautologia se for verdadeira em todas as linhas da tabela de verdade.
– É contradição se for falsa em todas as linhas.
– É simplesmente satisfatória (ou contingência) se for verdadeira em pelo menos uma linha e falsa em pelo menos uma linha.

Passo 3

Recordando que P \Rightarrow Q é equivalente a \neg P \lor Q e que Q \Rightarrow P é equivalente a
\neg Q \lor P.
Então nossa fórmula
(P \Rightarrow Q)\Rightarrow(Q \Rightarrow P)
é equivalente a
\neg\bigl(\neg P\lor Q\bigr)\;\lor\;\bigl(\neg Q\lor P\bigr).

Passo 4

Construímos diretamente a tabela de verdade para ver onde a fórmula é falsa ou verdadeira:
\begin{array}{cc|c|c|c} P & Q & P\!\Rightarrow\!Q & Q\!\Rightarrow\!P & (P\!\Rightarrow\!Q)\!\Rightarrow\!(Q\!\Rightarrow\!P)\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}
Em três linhas a fórmula vale 1 (verdadeira) e em uma linha vale 0 (falsa).

Passo 5

Como há pelo menos uma linha verdadeira e pelo menos uma linha falsa, a fórmula não é tautologia nem contradição. Logo trata-se de uma proposição simplesmente satisfatória.

Resposta

A fórmula (P\Rightarrow Q)\Rightarrow(Q\Rightarrow P) é simplesmente satisfatória (contingência).

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