Num prédio de 10 pavimentos, com 6 apartamentos por andar, será montada uma estação de bombeamento de água que deverá funcionar 8 horas por dia. Admite-se uma quota de 200 litros por habitante por dia e uma média de 5 habitantes por apartamento. Supondo que as tubulações sejam de aço galvanizado, pede-se para determinar o diâmetro econômico. Sugira diâmetros para as tubulações de recalque e sucção.
\boldsymbol{(} \mathbf{D}_{\text {econômico }} \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 0 4 5 ~ m} \boldsymbol{)}ô

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Número de pavimentos: 10.
    • Apartamentos por andar: 6.
    • Média de habitantes por apartamento: 5.
    • Cota diária por habitante: 200 litros por dia.
    • A estação de bombeamento funciona 8 horas por dia.
    • Tubulações: aço galvanizado (logo usaremos recomendações práticas para este material).
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar o diâmetro econômico da tubulação principal (o D_{\text{econômico}}ô).
    2. Sugerir diâmetros comerciais/práticos para as tubulações de recalque (descarga) e sucção.

Passo 2

Calcular a demanda total de água e a vazão de projeto que a bomba deve fornecer, passo a passo.
  • Primeiro o número total de apartamentos:
    \text{apartamentos} = 10 \times 6 = 60.
  • Total de habitantes:
    \text{habitantes} = 60 \times 5 = 300.
  • Consumo diário total (em litros e em metros cúbicos):
    V_{\text{dia}} = 300 \times 200 = 60\,000\\ \text{L/dia}.
V_{\text{dia}} = 60\,000\\ \text{L/dia} = 60\\ \text{m}^3\!/\text{dia}.
  • Como a bomba funciona 8 horas por dia, a vazão média durante a operação é: Q = \frac{60\\ \text{m}^3}{8\\ \text{h}} = 7{,}5\\ \text{m}^3\!/\text{h}.Converter para unidades usuais em hidráulica (m³/s e L/s): Q = \frac{7{,}5}{3600}\\ \text{m}^3\!/\text{s} \approx 0{,}0020833\\ \text{m}^3\!/\text{s}.
Q \approx 2{,}083\\ \text{L/s}.

Passo 3

Explicar o conceito de “diâmetro econômico” e a fórmula prática que vamos usar (e por que).
  • Ideia geral (sem jargão): diâmetro econômico é o diâmetro que minimiza o custo total ao longo da vida: custo do material (tubulação maior custa mais) versus custo energético (tubulação pequena gera maior perda de carga e maior consumo de energia). Com hipóteses práticas e modelos empíricos para perda de carga em tubulações metálicas, obtém‑se uma relação tipo
    D_{\text{econômico}} = C\; Q^{3/8},ô
    onde:
    • D_{\text{econômico}}ô é o diâmetro interno em metros;
    • Q é a vazão de projeto em metros cúbicos por segundo ( \text{m}^3\!/\text{s});
    • C é uma constante empírica que depende de hipótese de custo, material e modelo de perda de carga.
  • Para tubulações metálicas comuns (aço galvanizado, ferro fundido, etc.) é prática corrente usar a constante
    C \approx 0{,}46
    quando Q está em \text{m}^3\!/\text{s}. Essa fórmula (com 3/8=0{,}375) é muito usada em exercícios e projetos simplificados e dá um resultado que concilia razoavelmente custo e consumo energético para redes prediais.
  • Observação didática rápida: o expoente 3/8 surge de um equilíbrio entre os expoentes que aparecem na fórmula de perda de carga (dependência de Q e de D) e da dependência de custo do tubo com D. Não precisamos aqui derivar a otimização completa; na prática de projeto predial a fórmula acima é aceita e usada.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao valor de Q encontrado, com cálculos bem detalhados.
  • Temos Q \approx 0{,}0020833\\ \text{m}^3\!/\text{s}. Calcular Q^{3/8}: Q^{3/8} = \left(0{,}0020833\right)^{0{,}375}.Vamos calcular em etapas (aproximação numérica): \ln(Q) = \ln(0{,}0020833) \approx -6{,}175.
0{,}375\cdot\ln(Q) \approx 0{,}375\times(-6{,}175) \approx -2{,}316.
Q^{3/8} = e^{-2{,}316} \approx 0{,}0986.
  • Agora aplicar a constante C=0{,}46:
    D_{\text{econômico}} = 0{,}46 \times 0{,}0986 \approx 0{,}0454\\ \text{m}.ô
  • Arredondando para dois algarismos significativos em centímetros:
    D_{\text{econômico}} \approx 0{,}045\\ \text{m} = 45\\ \text{mm}.ô
  • Comentário: esse valor coincide com o valor indicado no enunciado \left(D_{\text{econômico}}=0{,}045\\ \text{m}\right)ô, o que é um bom sinal de consistência.

Passo 5

Escolher diâmetros comerciais práticos (sugestão) e justificar a escolha — recalque e sucção.
  • Regra prática: após calcular o diâmetro econômico, escolhe‑se o diâmetro comercial imediatamente superior (para evitar velocidades muito altas e perdas excessivas). Além disso, na linha de sucção costuma‑se usar um diâmetro igual ou um tamanho comercial maior do que a linha de recalque para reduzir velocidade e risco de cavitação/NPSH insuficiente.
  • Vamos propor diâmetros comerciais comuns (nominais em mm):
    • Diâmetro econômico calculado: 45\\ \text{mm}.
    • Escolher para a tubulação de recalque (descarga) o próximo diâmetro comercial: 50\\ \text{mm} (DN50, isto é 0{,}050\\ \text{m}).
    • Para a sucção, escolher um diâmetro um pouco maior: 65\\ \text{mm} (DN65, isto é 0{,}065\\ \text{m}). Assim reduz‑se velocidade na sucção e facilita a aspiração pela bomba.

Passo 6

Verificar velocidades resultantes (para checar que estão dentro de faixas aceitáveis para aço galvanizado).
  • Área da seção transversal e velocidade para D_{\text{econômico}}=0{,}045\\ \text{m}ô: A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}045)^2}{4} \approx 1{,}591\times10^{-3}\\ \text{m}^2.
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}0020833}{1{,}591\times10^{-3}} \approx 1{,}31\\ \text{m/s}.
  • Para o diâmetro comercial de recalque D=0{,}050\\ \text{m}: A = \frac{\pi (0{,}050)^2}{4} \approx 1{,}963\times10^{-3}\\ \text{m}^2,
v = \frac{0{,}0020833}{1{,}963\times10^{-3}} \approx 1{,}06\\ \text{m/s}.
  • Para a sucção D=0{,}065\\ \text{m}: A = \frac{\pi (0{,}065)^2}{4} \approx 3{,}318\times10^{-3}\\ \text{m}^2,
v = \frac{0{,}0020833}{3{,}318\times10^{-3}} \approx 0{,}63\\ \text{m/s}.
  • Interpretação: velocidades entre cerca de 0{,}6 e 1{,}1\\ \text{m/s} são perfeitamente aceitáveis para tubulação de aço galvanizado em sistemas prediais (valores típicos de projeto variam, por exemplo, 0{,}6 3{,}0\\ \text{m/s} dependendo do trecho). A escolha proposta dá velocidade moderada na recalque e baixa na sucção (bom para NPSH).

Passo 7

Observações práticas finais e dicas para a prova
  • Na prova: calcule sempre primeiro a demanda total (nº apartamentos × habitantes × cota diária) e a vazão considerando horas de operação — essa é a base de tudo.
  • Use a fórmula empírica D_{\text{econômico}}=0{,}46\,Q^{3/8}ô com Q em \text{m}^3\!/\text{s} para tubulações metálicas quando pedirem “diâmetro econômico” em exercícios prediais; ela é muito utilizada e simples de aplicar.
  • Depois de calcular o diâmetro teórico, adote o próximo diâmetro comercial superior para a recalque e, em sucção, escolha o mesmo ou um tamanho maior; sempre verifique a velocidade resultante (entre cerca de 0{,}6 e 2{,}5\\ \text{m/s} costuma ser uma faixa segura para redes prediais).
  • Atenção: diâmetro nominal comercial e diâmetro interno real podem variar com espessura de parede e norma. Em projeto real, confirmar diâmetro interno efetivo e recalcular perdas. Para a prova, usar os diâmetros nominais (ex.: DN50 ≈ 0{,}050\\ \text{m}, DN65 ≈ 0{,}065\\ \text{m}) é aceitável salvo indicação contrária.

Resposta

D_{\text{econômico}} \approx 0{,}045\\ \text{m}ô
Sugestão para recalque: D = 0{,}050\\ \text{m} (DN50)
Sugestão para sucção: D = 0{,}065\\ \text{m} (DN65)

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