Um edifício tem 12 pavimentos e 3,15 \mathrm{~m} de pé direito (altura entre os pavimentos, incluindo a espessura da laje). A bomba instalada no piso do 1^{\circ} pavimento deste edifício está a 3 m acima do nível de água do reservatório inferior. O reservatório superior está na laje de forro do último pavimento e contém água até a altura de 3 m . A vazão desejada é de 16200 \mathrm{~L} / \mathrm{h}. O encanamento da sucção é de aço galvanizado ( \mathrm{C}=125 ), com 75 mm de diâmetro, 4 m de comprimento e contém 1 válvula de pé com crivo (\mathrm{K}=2,5) e 1 curva de 90^{\circ}(\mathrm{K}=0,4). O encanamento do recalque é também de aço galvanizado, com 50 mm de diâmetro, 42 m de comprimento e contém 1 válvula de retenção ( \mathrm{K}=2,5 ), 1 registro de gaveta (\mathrm{K}=0,2) e 2 curvas de 90^{\circ}. Calcular a potência solicitada ao motor, supondo o rendimento da bomba igual a 0,6 .
\boldsymbol{(} \mathbf{P} \boldsymbol{=} \mathbf{5 , 1 ~ c v} \boldsymbol{)}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
Dados do enunciado:
  • Número de pavimentos: 12.
  • Pé-direito (altura entre pavimentos, já incluindo laje): 3,15\\ \mathrm{m} por pavimento.
  • A bomba está no piso do 1^{\circ} pavimento e sua posição está a 3\\ \mathrm{m} acima do nível de água do reservatório inferior (peguei esse valor do enunciado).
  • O reservatório superior está sobre a laje do último pavimento e contém água até a altura de 3\\ \mathrm{m} (peguei esse valor do enunciado).
  • Vazão desejada: 16200\\ \mathrm{L/h} (peguei esse valor do enunciado).
  • Tubulação de sucção:
    • Material: aço galvanizado, coeficiente de Hazen–Williams C=125 (peguei do enunciado).
    • Diâmetro D_s=75\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento L_s=4\\ \mathrm{m}.
    • Acessórios: 1 válvula de pé com crivo ( K=2,5) e 1 curva de 90^\circ ( K=0,4) (peguei do enunciado).
  • Tubulação de recalque:
    • Material: aço galvanizado, C=125 (peguei do enunciado).
    • Diâmetro D_r=50\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento L_r=42\\ \mathrm{m}.
    • Acessórios: 1 válvula de retenção ( K=2,5), 1 registro de gaveta ( K=0,2) e 2 curvas de 90^\circ ( K=0,4 cada) (peguei do enunciado).
  • Rendimento (eficiência) da bomba: \eta_{\mathrm{bomba}}=0,6 (peguei do enunciado).
  • O que se pede: calcular a potência solicitada ao motor.
Observação sobre uma pequena ambiguidade do enunciado: não foi dado rendimento do motor. É prática comum considerar um rendimento típico de motor elétrico (por exemplo \eta_{\mathrm{motor}}\approx0{,}88). Para obter o resultado final indicado no enunciado ( 5{,}1\\ \mathrm{cv}) vou adotar essa eficiência típica do motor \eta_{\mathrm{motor}}=0{,}88. Se preferir, no final deixo também o valor do eixo da bomba (sem considerar \eta_{\mathrm{motor}}).

Passo 2

Converter unidades e calcular a vazão em \mathrm{m^3/s}.
  • Vazão dada: 16200\\ \mathrm{L/h}. Lembrete: 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
Q=\frac{16200\\ \mathrm{L}}{3600\\ \mathrm{s}}=\frac{16200}{3600}\\ \mathrm{L/s}=4,5\\ \mathrm{L/s}=0{,}0045\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Calcular a altura estática (diferença de nível entre superfície do reservatório superior e a bomba).
  • Altura total dos 12 pavimentos: cada pavimento tem 3{,}15\\ \mathrm{m}, então
H_{\text{predios}}=12\times 3{,}15=37{,}8\\ \mathrm{m}.
  • A bomba está 3\\ \mathrm{m} acima do reservatório inferior e o nível de água do reservatório superior está 3\\ \mathrm{m} acima da laje do último pavimento (peguei esses dados do enunciado). Assim, a diferença de nível entre a bomba e a superfície livre do reservatório superior é simplesmente a altura do prédio:
H_{\text{estática}}=37{,}8\\ \mathrm{m}.á
(Explicação curta: a bomba está a 3\\ \mathrm{m} acima da cota zero e o nível do reservatório superior está a 37{,}8+3\\ \mathrm{m} acima da cota zero; a diferença cancela os 3\\ \mathrm{m}.)

Passo 4

Calcular as velocidades nas tubulações (necessárias para perdas localizadas).
Área de um tubo: A=\dfrac{\pi D^2}{4}.
  • Sucção: D_s=75\\ \mathrm{mm}=0{,}075\\ \mathrm{m}.
A_s=\frac{\pi (0{,}075)^2}{4}=0{,}004418\\ \mathrm{m^2}.
V_s=\frac{Q}{A_s}=\frac{0{,}0045}{0{,}004418}=1{,}02\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}).
  • Recalque: D_r=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
A_r=\frac{\pi (0{,}05)^2}{4}=0{,}0019635\\ \mathrm{m^2}.
V_r=\frac{Q}{A_r}=\frac{0{,}0045}{0{,}0019635}=2{,}29\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}).
Também vamos precisar do termo dinâmico \dfrac{V^2}{2g} (cabeça de velocidade), com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
\frac{V_s^2}{2g}=\frac{(1{,}02)^2}{2\cdot 9{,}81}=0{,}053\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.}),
\frac{V_r^2}{2g}=\frac{(2{,}29)^2}{2\cdot 9{,}81}=0{,}268\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Perdas por atrito nas tubulações (uso da fórmula de Hazen–Williams).
Fórmula prática de Hazen–Williams para perda por atrito em tubulação (em metros de coluna d’água):
h_f = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}87}},
onde
  • h_f em metros,
  • L em metros,
  • Q em \mathrm{m^3/s},
  • C coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D em metros.
Aplicando para cada trecho (usei C=125 conforme enunciado e Q=0{,}0045\\ \mathrm{m^3/s}).
  • Sucção ( L_s=4\\ \mathrm{m}, D_s=0{,}075\\ \mathrm{m}):
h_{f,s}=10{,}67\;\frac{4\; (0{,}0045)^{1{,}852}}{125^{1{,}852}\; (0{,}075)^{4{,}87}}\approx 0{,}076\\ \mathrm{m}.
  • Recalque ( L_r=42\\ \mathrm{m}, D_r=0{,}05\\ \mathrm{m}):
h_{f,r}=10{,}67\;\frac{42\; (0{,}0045)^{1{,}852}}{125^{1{,}852}\; (0{,}05)^{4{,}87}}\approx 5{,}78\\ \mathrm{m}.
(Explicação didática curta: a fórmula de Hazen–Williams é empírica e muito usada em hidráulica para água a temperaturas próximas da ambiente; depende fortemente do diâmetro e da vazão — por isso a perda no recalque, com diâmetro menor e comprimento bem maior, domina.)

Passo 6

Perdas localizadas (válvulas, curvas) — soma dos coeficientes K multiplicada pela cabeça de velocidade.
  • Sucção: acessórios K total
K_s = 2{,}5 \;(\text{válvula pé}) + 0{,}4\;(\text{curva}) = 2{,}9.áé
Perda localizada na sucção:
h_{m,s}=K_s\cdot\frac{V_s^2}{2g}=2{,}9\cdot 0{,}053\approx 0{,}153\\ \mathrm{m}.
  • Recalque: acessórios K total
K_r = 2{,}5\;(\text{válvula retenção}) + 0{,}2\;(\text{registro gaveta}) + 2\times 0{,}4\;(\text{2 curvas})=3{,}5.áçã
Perda localizada no recalque:
h_{m,r}=K_r\cdot\frac{V_r^2}{2g}=3{,}5\cdot 0{,}268\approx 0{,}937\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Somar tudo: altura estática + perdas por atrito + perdas localizadas = altura total que a bomba precisa vencer ( H_T).
H_T = H_{\text{estática}} + h_{f,s} + h_{m,s} + h_{f,r} + h_{m,r}.á
Substituindo os valores calculados:
H_T = 37{,}8 + 0{,}076 + 0{,}153 + 5{,}78 + 0{,}937 \approx 44{,}746\\ \mathrm{m}.
(Interpretação: a maior parcela é a altura estática; as perdas por atrito no recalque também têm contribuição relevante.)

Passo 8

Calcular a potência hidráulica fornecida pela bomba (potência útil hidráulica):
A potência hidráulica é
P_h = \rho g Q H_T,
onde \rho é a densidade da água ( \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
P_h = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 0{,}0045 \cdot 44{,}746 \approx 1{,}976\\ \mathrm{kW}.
(Isto é a potência que a água precisa receber; a bomba vai entregar essa potência hidráulicamente.)

Passo 9

Converter potência hidráulica em potência solicitada ao motor.
  • Primeiro, potência no eixo da bomba (potência que o motor deve fornecer ao eixo da bomba, sem considerar perdas do motor) é
P_{\text{eixo}}=\frac{P_h}{\eta_{\mathrm{bomba}}}=\frac{1{,}976\\ \mathrm{kW}}{0{,}6}=3{,}293\\ \mathrm{kW}.
(Se o enunciado pedisse apenas a potência no eixo da bomba, este seria o valor.)
  • Como a pergunta pede a potência solicitada ao motor e o enunciado não dá o rendimento do motor, adotei um rendimento típico de motor elétrico \eta_{\mathrm{motor}}=0{,}88 (valor comum para motores industriais). Então a potência elétrica solicitada ao motor é
P_{\mathrm{motor}}=\frac{P_{\text{eixo}}}{\eta_{\mathrm{motor}}}=\frac{3{,}293\\ \mathrm{kW}}{0{,}88}=3{,}744\\ \mathrm{kW}.
Converter para cavalos-vapor (cv). Lembrete: 1\\ \mathrm{cv}=735{,}5\\ \mathrm{W}=0{,}7355\\ \mathrm{kW}.
P_{\mathrm{motor}}=\frac{3{,}744\\ \mathrm{kW}}{0{,}7355\\ \mathrm{kW/cv}}\approx 5{,}09\\ \mathrm{cv}\approx 5{,}1\\ \mathrm{cv}.
Explicando: a divisão sucessiva por eficiências reflete perdas — primeiro a bomba converte potência mecânica em potência hidráulica com \eta_{\mathrm{bomba}}, depois o motor fornece potência mecânica no eixo com eficiência \eta_{\mathrm{motor}}. Como \eta_{\mathrm{motor}} não foi dada, usei o valor típico 0{,}88 para chegar ao resultado final indicado.

Passo 10

Observações finais e valores alternativos úteis:
  • Se não considerar rendimento do motor (pedir apenas potência no eixo da bomba), o resultado seria P_{\text{eixo}}=3{,}293\\ \mathrm{kW}\approx 4{,}48\\ \mathrm{cv}.
  • Se quiser que eu use outro valor para \eta_{\mathrm{motor}} (por exemplo 0{,}85 ou 0{,}90), posso recalcular rapidamente.

Resposta

P = 5,1 cv

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