Prende-se ao teto a ponta de uma fita inextensível de massa desprezível, enrolada num cilindro de massa de
e raio de
. Solta-se o cilindro do repouso e deixa-se desenrolar apenas pelo efeito gravitacional. Considere a aceleração da gravidade como
. Calcule a tensão na fita. Responda com unidade do SI.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro de massa
(ou seja,
) e raio
(
), preso ao teto por uma fita inextensível. Soltamos o cilindro, ele desenrola e cai só pela gravidade. A pergunta é: qual é a tensão
na fita?
Conteúdo envolvido: dinâmica de corpo rígido (forças e torques), momento de inércia de um cilindro sólido e a relação entre aceleração linear e angular
.
Conteúdo envolvido: dinâmica de corpo rígido (forças e torques), momento de inércia de um cilindro sólido e a relação entre aceleração linear
Passo 2
Primeiro a gente monta duas equações-chave:
- Equação de translação (Segunda Lei de Newton):
Aqui
puxa pra baixo e
puxa pra cima, resultando na aceleração
pra baixo.
2) Equação de rotação (torque):
2) Equação de rotação (torque):
Passo 3
A gente precisa do momento de inércia
de um cilindro sólido em torno de seu eixo:
E também sabe que, por não escorregar da fita, a aceleração linear e angular estão ligadas por
Passo 4
Usa essas relações pra eliminar
e achar
em função de
. Da equação de torque:
Então
. Agora volta na equação de translação:
Passo 5
Com
, a tensão é
Basta botar os números:
Resposta
A tensão na fita vale aproximadamente
.