Prende-se ao teto a ponta de uma fita inextensível de massa desprezível, enrolada num cilindro de massa de 165,4 g e raio de 5,8 cm. Solta-se o cilindro do repouso e deixa-se desenrolar apenas pelo efeito gravitacional. Considere a aceleração da gravidade como g=9,8 m / s^2. Após o cilindro realizar 3 voltas, calcule sua energia cinética total. Responda com unidade do SI.

Passo 1

Então, o enunciado diz que a gente tem um cilindro de massa desprezível (ou melhor, cilindro de massa ,g e raio ,cm) preso por uma fita inextensível. A fita desenrola enquanto o cilindro cai, e a gente quer saber a energia cinética total dele depois de fazer 3 voltas.
Conteúdo: Energia mecânica e rotação de corpos rígidos.
O que vamos usar:
  • Conversão de unidades (g → kg, cm → m).
  • Desenrolamento: distância percorrida = comprimento de 3 voltas.
  • Conservação de energia (energia potencial → energia cinética translacional + rotacional).
  • Momento de inércia do cilindro maciço .
  • Liga v e ω pela condição de não escorregar: .

Passo 2

Primeiro, converte tudo pra SI e calcula a altura que o cilindro desceu (o tanto de fita que desenrolou):
Massa:
M=165,4 g=0,1654 kg
Raio:
R=5,8 cm=0,058 m
Três voltas significam um comprimento de fita
s=3times 2pi R =6pi R
Como a fita não escorrega, esse h =6pi R é a queda do centro do cilindro:

Passo 3

Aplicamos a conservação de energia mecânica:
De
A energia potencial perdida é
De
Ela se transforma em
Ectrans = tfrac12 M v^2 e Ecrot = tfrac12,I,omega^2

Passo 4

Sabendo que o cilindro é maciço,
I = tfrac12,M,R^2,
e usando a condição de não escorregar ( Ecrot = tfrac12l(tfrac12MR^2r)omega^2 = tfrac14,M,v^2 ), temos
Ec = Ectrans+Ecrot = tfrac12 Mv^2 + tfrac14 Mv^2 = tfrac34,M,v^2
Logo, a energia cinética total é
Ec = Mgh
Mas, pela conservação, .
Então não precisamos achar explicitamente, basta

Passo 5

É só substituir tudo:
h =6pi R =6pitimes0,058 mapprox1,093 m,
Ec = Mgh =0,1654times9,8times1,093 approx1,77 J

Resposta

A energia cinética total do cilindro, após 3 voltas, é aproximadamente .

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