Para preparar 0,5 \mathrm{~L} de fampāo \mathrm{CO}_{3}{ }^{2-} / \mathrm{HCO}_{3}{ }^{-} em pH 10, necessário para o uso de uma enzima de interesse industrial, pede-se:
a. Qual seria a razāo [ \mathrm{CO}_{3}{ }^{2-1} /\left[\mathrm{HCO}_{3}{ }^{-1}\right. ]? ( Kb do \left.\mathrm{CO}_{3}{ }^{2-}=1,8 \times 10^{-4}\right).
b. Quais seriam os volumes necessários de \mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3} 0,3 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} e \mathrm{NaHCO}_{3} 0,2 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} para o preparo do tampāo?
c. Quais seriam os volumes necessários para preparar o łampāo utilizando \mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3} 0,3 \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1}=\mathrm{HCl} 0,2 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado pede que preparemos 0,5\\ \mathrm{L} de tampão \mathrm{CO_3^{2-}}/\mathrm{HCO_3^-} em pH 10. Perguntas e dados relevantes:
  • (a) Calcular a razão \left[\mathrm{CO_3^{2-}}\right]/\left[\mathrm{HCO_3^-}\right]. Dado: K_b(\mathrm{CO_3^{2-}})=1,8\times10^{-4}.
  • (b) Calcular os volumes de soluções estoque para preparar 0,5\\ \mathrm{L} do tampão a partir de \mathrm{Na_2CO_3} 0,3\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e \mathrm{NaHCO_3} 0,2\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • (c) Calcular os volumes para preparar 0,5\\ \mathrm{L} do tampão usando \mathrm{Na_2CO_3} 0,3\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e \mathrm{HCl} 0,2\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} (a reação do ácido com \mathrm{CO_3^{2-}} gera \mathrm{HCO_3^-}).
    Dados numéricos importantes recolhidos do enunciado: volume final 0,5\\ \mathrm{L}, pH alvo 10, K_b(\mathrm{CO_3^{2-}})=1,8\times10^{-4}, C_{\mathrm{Na_2CO_3}}=0,3\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, C_{\mathrm{NaHCO_3}}=0,2\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, C_{\mathrm{HCl}}=0,2\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
    A partir daqui vamos resolver passo a passo e explicar a teoria necessária.

Passo 2

Teoria do tampão e fórmula a usar (explicação didática).
Quando temos uma base fraca B e sua base protonada/conjugada BH formando um tampão, a forma de Henderson para bases dá:
\mathrm{pOH} = \mathrm{p}K_b + \log\frac{[BH]}{[B]}
onde:
  • \mathrm{pOH} = -\log[ \mathrm{OH^-}];
  • \mathrm{p}K_b = -\log K_b;
  • [BH] é a concentração da forma protonada (aqui \mathrm{HCO_3^-});
  • [B] é a concentração da base (aqui \mathrm{CO_3^{2-}}).
    Queremos a razão \dfrac{[\mathrm{CO_3^{2-}}]}{[\mathrm{HCO_3^-}]}. Reescrevendo a expressão:
\log\frac{[\mathrm{HCO_3^-}]}{[\mathrm{CO_3^{2-}}]} = \mathrm{pOH} - \mathrm{p}K_b.
Invertendo e usando \mathrm{pH}=14-\mathrm{pOH} obtemos:
\frac{[\mathrm{CO_3^{2-}}]}{[\mathrm{HCO_3^-}]} = 10^{\mathrm{pH} + \mathrm{p}K_b - 14}.
Esta é a fórmula que vamos usar no item (a). Explico: ela vem de isolar a razão e usar a relação entre pH e pOH — é a forma útil para pares base/conjugado quando nos dão K_b.

Passo 3

Cálculo do item (a): razão \left[\mathrm{CO_3^{2-}}\right]/\left[\mathrm{HCO_3^-}\right].
  1. Calcular \mathrm{p}K_b:
\mathrm{p}K_b = -\log\left(1,8\times10^{-4}\right)= -\log(1,8)-\log\left(10^{-4}\right)=4-\log(1,8).
\log(1,8)\approx0,2553, portanto
\mathrm{p}K_b \approx 4 - 0,2553 = 3,7447.
  1. Aplicar a fórmula:
\frac{[\mathrm{CO_3^{2-}}]}{[\mathrm{HCO_3^-}]} = 10^{\mathrm{pH} + \mathrm{p}K_b - 14} = 10^{10 + 3,7447 - 14} = 10^{-0,2553}.
  1. Calcular numericamente:
10^{-0,2553}\approx 0,556.
Portanto a razão pedida é aproximadamente 0,556 (ou 5,56\times10^{-1}).

Passo 4

Resolução do item (b): volumes de \mathrm{Na_2CO_3} 0,3\\ \mathrm{M} e \mathrm{NaHCO_3} 0,2\\ \mathrm{M} para obter 0,5\\ \mathrm{L} do tampão com a razão encontrada.
Estratégia prática (comum em laboratório): misturar volumes V_1 de \mathrm{Na_2CO_3} e V_2 de \mathrm{NaHCO_3} e completar (se necessário) para o volume final 0,5\\ \mathrm{L}. Aqui vamos assumir que diluímos a mistura até 0,5\\ \mathrm{L}; para simplicidade e porque as concentrações finais dependem do número de mols, é conveniente tomar V_1+V_2=0,5\\ \mathrm{L} (isto é, misturamos somente os dois estoques e consideramos que o volume final é 0,5\\ \mathrm{L}). Essa é uma hipótese prática e comum em exercícios escolares.
Defina:
  • V_1 = volume de \mathrm{Na_2CO_3} (em L), concentração C_1=0,3\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • V_2 = volume de \mathrm{NaHCO_3} (em L), concentração C_2=0,2\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Nº de mols após mistura (antes de diluir) será n_{\mathrm{CO_3}} = C_1 V_1 e n_{\mathrm{HCO_3}} = C_2 V_2. Como dividimos pelo mesmo volume final 0,5\\ \mathrm{L}, a razão de concentrações é a razão de mols, logo
\frac{C_1 V_1}{C_2 V_2} = 0,556.
Também impusemos V_1+V_2=0,5\\ \mathrm{L}.
Resolver o sistema:
\frac{0,3 V_1}{0,2 V_2}=0,556 \quad\Rightarrow\quad \frac{V_1}{V_2}=\frac{0,556\times0,2}{0,3}=\frac{0,1112}{0,3}=0,3707.
Então V_1=0,3707\,V_2. Com V_1+V_2=0,5:
0,3707\,V_2 + V_2 = 0,5 \quad\Rightarrow\quad 1,3707\,V_2=0,5
V_2=\frac{0,5}{1,3707}\approx 0,3650\\ \mathrm{L}=365,0\\ \mathrm{mL}.
E
V_1=0,5-0,3650=0,1350\\ \mathrm{L}=135,0\\ \mathrm{mL}.
Verificação rápida: razão de mols =(0,3\times0,1350)/(0,2\times0,3650)=0,0405/0,0730\approx0,555 (diferença por arredondamento), consistente com 0,556.

Passo 5

Resolução do item (c): preparar o tampão usando \mathrm{Na_2CO_3} 0,3\\ \mathrm{M} e \mathrm{HCl} 0,2\\ \mathrm{M}.
Raciocínio químico (este é crucial): \mathrm{CO_3^{2-}} reage com \mathrm{H^+} conforme
\mathrm{CO_3^{2-}} + \mathrm{H^+} \longrightarrow \mathrm{HCO_3^-}.
Cada mol de \mathrm{H^+} converte um mol de \mathrm{CO_3^{2-}} em \mathrm{HCO_3^-}. Vamos usar volumes V_c (Na2CO3) e V_a (HCl), misturar e diluir para o volume final 0,5\\ \mathrm{L}. Novamente usamos a hipótese prática V_c+V_a=0,5\\ \mathrm{L}.
Defina:
  • V_c = volume de \mathrm{Na_2CO_3} (L), concentração C_c=0,3\\ \mathrm{M}.
  • V_a = volume de \mathrm{HCl} (L), concentração C_a=0,2\\ \mathrm{M}.
Mols iniciais:
  • mols \mathrm{CO_3^{2-}} iniciais =0,3\,V_c.
  • mols \mathrm{H^+} fornecidos =0,2\,V_a.
Após reação (assumindo 0,2V_a \le 0,3V_c, para ainda termos alguma \mathrm{CO_3^{2-}} remanescente):
  • mols \mathrm{CO_3^{2-}} finais =0,3V_c - 0,2V_a.
  • mols \mathrm{HCO_3^-} finais =0,2V_a.
Queremos a razão
\frac{0,3V_c - 0,2V_a}{0,2V_a}=0,556.
E V_c+V_a=0,5.
Resolver a equação da razão:
0,3V_c - 0,2V_a = 0,2V_a\times0,556 = 0,1112\,V_a
0,3V_c = 0,1112V_a + 0,2V_a = 0,3112V_a
V_c = \frac{0,3112}{0,3}V_a = 1,037333\;V_a.
Com V_c+V_a=0,5:
1,037333\,V_a + V_a = 0,5 \quad\Rightarrow\quad 2,037333\,V_a = 0,5
V_a = \frac{0,5}{2,037333} \approx 0,2454\\ \mathrm{L}=245,4\\ \mathrm{mL}.
Então
V_c = 0,5 - 0,2454 = 0,2546\\ \mathrm{L}=254,6\\ \mathrm{mL}.
Verificação rápida (mols): \mathrm{CO_3} iniciais =0,3\times0,2546=0,07638\\ \mathrm{mol}. \mathrm{H^+} fornecidos =0,2\times0,2454=0,04908\\ \mathrm{mol}. Após reação: \mathrm{CO_3} final =0,07638-0,04908=0,02730\\ \mathrm{mol}; \mathrm{HCO_3^-}=0,04908\\ \mathrm{mol}. Razão =0,02730/0,04908\approx0,556 — ok.

Resposta

(a) 0,556\n(b) \mathrm{Na_2CO_3}:135,0\\ \mathrm{mL};\\ \mathrm{NaHCO_3}:365,0\\ \mathrm{mL}\n(c) \mathrm{Na_2CO_3}:254,6\\ \mathrm{mL};\\ \mathrm{HCl}:245,4\\ \mathrm{mL}

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