- A pressão existente sobre um solo compressível é de
, a qual será acrescida de
pela construção de um edificio. A camada compressível tem
de espessura e índice de vazios igual a 1,20 . Sob o acréscimo de pressão, o índice de vazios decresce para 1,12 . Pede-se determinar o índice de compressão do solo e a deformação da camada.
Resp.:
e
.
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que pediram):
- Pressão inicial sobre o solo:
. - Acréscimo de pressão devido ao edifício:
. - Pressão final:
. - Espessura da camada compressível:
. - Índice de vazios inicial:
. - Índice de vazios final (após consolidação):
.
O enunciado pede:
- Determinar o índice de compressão do solo (denotado aqui por
, conforme a resposta fornecida). - Determinar a deformação (afundamento) da camada, isto é,
(em centímetros).
Passo 2
Entender o que é o “índice de compressão” que o problema espera calcular.
Explicação didática (passo a passo):
- Em muitos exercícios de consolidação para solos normalmente consolidados, verifica-se experimentalmente que o índice de vazios
decresce de forma aproximadamente linear quando plotamos versus , onde é a pressão efetiva aplicada. Ou seja, empírica e aproximadamente vale a relação
onde
é o chamado índice de compressão (também chamado de “compression index” em inglês) e corresponde à inclinação dessa reta no gráfico
versus
.
- Nesta fórmula:
-
é o índice de vazios no estado considerado; -
é a pressão (aqui usamos as pressões dadas no enunciado, em ); -
(que o enunciado chama ) mede quanto o índice de vazios muda por unidade de variação em .
-
- Reorganizando a expressão para dois estados (inicial e final), obtemos uma forma direta para
:
- Essa é a fórmula que vamos usar para calcular
. Não é necessário usar logaritmo natural; o gráfico padrão de compressão usa .
Passo 3
Aplicar a fórmula do índice de compressão aos números dados.
- Calcular a variação do índice de vazios:
- Calcular o fator de pressão:
- Calcular
desse fator. Usando uma aproximação numérica:
- Substituindo na fórmula:
Comentário curto e encorajador: vê como a fórmula é direta — basta a diferença de vazios e o logaritmo da razão de pressões. Dá orgulho quando bate certinho com a resposta do enunciado!
Passo 4
Agora vamos calcular a deformação (assentamento) da camada, explicando por que a fórmula funciona.
Explicação didática da fórmula de assentamento:
- O índice de vazios é definido por
onde
é o volume de vazios e
é o volume de sólidos.
- Para uma camada de solo com área unitária (para facilitar), o volume total é igual à sua espessura
. O volume de sólidos é (porque ). - Quando o índice de vazios diminui de
para , a fração ocupada pelos sólidos não muda, então o novo espessamento satisfaz . Igualando os volumes de sólidos (constantes), temos
- Rearranjando para a variação de espessura
, chega-se à fórmula prática muito usada:
- Essa fórmula diz, em palavras simples: o assentamento é a espessura multiplicada pela fração de redução relativa do espaço vazio em relação ao volume total inicial.
Passo 5
Aplicar a fórmula do assentamento com os números dados (cálculos completos e fáceis de reproduzir na prova).
- Substituindo
, e :
- Calcular o numerador da fração:
- Multiplicando por
:
- Converter metros para centímetros:
- Resultado arredondado e compatível com a resposta dada:
.