1. A pressão existente sobre um solo compressível é de 1,8 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2}, a qual será acrescida de 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} pela construção de um edificio. A camada compressível tem 2,50 \mathrm{~m} de espessura e índice de vazios igual a 1,20 . Sob o acréscimo de pressão, o índice de vazios decresce para 1,12 . Pede-se determinar o índice de compressão do solo e a deformação da camada.
    Resp.: \mathrm{K}=0,36 e \Delta \mathrm{h}=9 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que pediram):
  • Pressão inicial sobre o solo: p_0 = 1,8\\ \mathrm{kg/cm^{2}}.
  • Acréscimo de pressão devido ao edifício: \Delta p = 1,2\\ \mathrm{kg/cm^{2}}.
  • Pressão final: p_1 = p_0 + \Delta p = 3,0\\ \mathrm{kg/cm^{2}}.
  • Espessura da camada compressível: H = 2,50\\ \mathrm{m}.
  • Índice de vazios inicial: e_0 = 1,20.
  • Índice de vazios final (após consolidação): e_1 = 1,12.
O enunciado pede:
  1. Determinar o índice de compressão do solo (denotado aqui por K, conforme a resposta fornecida).
  2. Determinar a deformação (afundamento) da camada, isto é, \Delta h (em centímetros).

Passo 2

Entender o que é o “índice de compressão” que o problema espera calcular.
Explicação didática (passo a passo):
  • Em muitos exercícios de consolidação para solos normalmente consolidados, verifica-se experimentalmente que o índice de vazios e decresce de forma aproximadamente linear quando plotamos e versus \log_{10} p, onde p é a pressão efetiva aplicada. Ou seja, empírica e aproximadamente vale a relação
e = e_{\text{ref}} - C_c \log_{10}\!\biggl(\frac{p}{p_{\text{ref}}}\biggr),
onde C_c é o chamado índice de compressão (também chamado de “compression index” em inglês) e corresponde à inclinação dessa reta no gráfico e versus \log_{10} p.
  • Nesta fórmula:
    • e é o índice de vazios no estado considerado;
    • p é a pressão (aqui usamos as pressões dadas no enunciado, em \mathrm{kg/cm^{2}});
    • C_c (que o enunciado chama K) mede quanto o índice de vazios muda por unidade de variação em \log_{10} p.
  • Reorganizando a expressão para dois estados (inicial e final), obtemos uma forma direta para C_c:
C_c = \frac{e_0 - e_1}{\log_{10}\!\left(\dfrac{p_1}{p_0}\right)}.
  • Essa é a fórmula que vamos usar para calcular K. Não é necessário usar logaritmo natural; o gráfico padrão de compressão usa \log_{10}.

Passo 3

Aplicar a fórmula do índice de compressão aos números dados.
  • Calcular a variação do índice de vazios:
e_0 - e_1 = 1,20 - 1,12 = 0,08.
  • Calcular o fator de pressão:
\frac{p_1}{p_0} = \frac{3,0}{1,8} = 1,666\ldots
  • Calcular \log_{10} desse fator. Usando uma aproximação numérica:
\log_{10}\!\left(\frac{p_1}{p_0}\right) = \log_{10}(1,666\ldots) \approx 0,22185.
  • Substituindo na fórmula:
K \equiv C_c = \frac{0,08}{0,22185} \approx 0,3605 \approx 0,36.
Comentário curto e encorajador: vê como a fórmula é direta — basta a diferença de vazios e o logaritmo da razão de pressões. Dá orgulho quando bate certinho com a resposta do enunciado!

Passo 4

Agora vamos calcular a deformação (assentamento) da camada, explicando por que a fórmula funciona.
Explicação didática da fórmula de assentamento:
  • O índice de vazios é definido por
e = \frac{V_v}{V_s},
onde V_v é o volume de vazios e V_s é o volume de sólidos.
  • Para uma camada de solo com área unitária (para facilitar), o volume total é igual à sua espessura H. O volume de sólidos é V_s = \dfrac{H}{1+e} (porque H = V_s + V_v = V_s(1+e)).
  • Quando o índice de vazios diminui de e_0 para e_1, a fração ocupada pelos sólidos não muda, então o novo espessamento H_1 satisfaz V_s = \dfrac{H_1}{1+e_1}. Igualando os volumes de sólidos (constantes), temos
\frac{H}{1+e_0} = \frac{H_1}{1+e_1}.
  • Rearranjando para a variação de espessura \Delta h = H - H_1, chega-se à fórmula prática muito usada:
\Delta h = H\cdot\frac{e_0 - e_1}{1 + e_0}.
  • Essa fórmula diz, em palavras simples: o assentamento é a espessura multiplicada pela fração de redução relativa do espaço vazio em relação ao volume total inicial.

Passo 5

Aplicar a fórmula do assentamento com os números dados (cálculos completos e fáceis de reproduzir na prova).
  • Substituindo H = 2,50\\ \mathrm{m}, e_0 - e_1 = 0,08 e 1+e_0 = 1 + 1,20 = 2,20:
\Delta h = 2{,}50\cdot\frac{0,08}{2{,}20}.
  • Calcular o numerador da fração:
\frac{0,08}{2{,}20} \approx 0{,}0363636\ldots
  • Multiplicando por 2{,}50:
\Delta h \approx 2{,}50 \times 0{,}0363636\ldots \approx 0{,}0909\\ \mathrm{m}.
  • Converter metros para centímetros:
0{,}0909\\ \mathrm{m} = 9{,}09\\ \mathrm{cm} \approx 9\\ \mathrm{cm}.
  • Resultado arredondado e compatível com a resposta dada: \Delta h \approx 9\\ \mathrm{cm}.

Resposta

K = 0,36
\Delta h = 9\\ \mathrm{cm}

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