1. Uma camada compressível tem 6 m de espessura e seu índice de vazios inicial é 1,037. Ensaios de laboratório indicam que o índice de vazios final, sob o peso de um edifício projetado, será 0,981 . Qual será o provável recalque total desse edifício?
    Resp.: \Delta \mathrm{h}=16,5 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o recalque total provável:
  • Espessura da camada compressível: H=6\\ \mathrm{m}.
  • Índice de vazios inicial: e_0=1,037.
  • Índice de vazios final (após adensamento pelo edifício): e_f=0,981.
    Pergunta: Qual é o recalque total \Delta h (em cm ou m) que se espera para essa camada?

Passo 2

O que é índice de vazios e por que ele importa para recalque.
  • O índice de vazios e é a razão entre volume de vazios V_v e volume de sólidos V_s: \,e=\dfrac{V_v}{V_s}\,.
  • O volume total V_t é V_t=V_s+V_v=V_s(1+e).
  • Para uma camada de solo com área de base unitária (1 m²), a espessura H é proporcional ao volume total por unidade de área: H \propto V_t. Assim, redução do índice de vazios implica redução do volume total e, portanto, assentamento (recalque) da camada.

Passo 3

Derivação da fórmula do recalque a partir da definição de e.
  • Seja H a espessura inicial (antes de adensamento) e H' a espessura final (depois de adensamento). Tomando uma área unitária:
    • Volume total inicial: V_{t0}=V_s(1+e_0) corresponde a espessura H.
    • Volume total final: V_{t1}=V_s(1+e_f) corresponde a espessura H'.
  • Como a área é 1, as espessuras são diretamente H=V_{t0} e H'=V_{t1} por unidade de sólidos igual.
  • Dividindo: \dfrac{H'}{H}=\dfrac{1+e_f}{1+e_0}.
  • O recalque (assentamento) é a redução de espessura:
\Delta H = H - H' = H\left(1-\dfrac{1+e_f}{1+e_0}\right)=H\cdot\dfrac{e_0-e_f}{1+e_0}.
Esta é a fórmula que usaremos. Explicando as variáveis:
  • H: espessura inicial da camada (m).
  • e_0: índice de vazios inicial (adimensional).
  • e_f: índice de vazios final (adimensional).
  • \Delta H: recalque total (m).

Passo 4

Calcular a variação de índice de vazios \Delta e.
\Delta e = e_0 - e_f = 1,037 - 0,981 = 0,056.

Passo 5

Calcular o denominador 1+e_0.
1+e_0 = 1 + 1,037 = 2,037.

Passo 6

Aplicar a fórmula do recalque e fazer as contas passo a passo.
\Delta H = H\cdot\dfrac{e_0-e_f}{1+e_0} = 6\cdot\dfrac{0,056}{2,037}.
Calcule o numerador:
6 \times 0,056 = 0,336\\ \mathrm{m}.
Agora a divisão:
\Delta H = \dfrac{0,336}{2,037}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão (aproximação suficiente para prova):
\Delta H \approx 0,16493\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Converter para centímetros e arredondar de forma prática para relatório/prova.
0,16493\\ \mathrm{m} = 16,493\\ \mathrm{cm} \approx 16,5\\ \mathrm{cm}.
Interpretação rápida: isso significa que a camada de 6\\ \mathrm{m} deve sofrer um recalque total de aproximadamente 16{,}5\\ \mathrm{cm} quando o índice de vazios cair de 1{,}037 para 0{,}981.

Resposta

\Delta h = 16{,}5\\ \mathrm{cm}

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