1. Em um ensaio de adensamento uma amostra com 4 cm de altura exigiu 24 horas para atingir um determinado grau de adensamento. Pede-se calcular o tempo (em dias) para que uma camada, com 8 m de espessura, e do mesmo material atinja, sob as mesmas condições de carregamento, o mesmo grau de adensamento.
    Resp.: t_{2}=96 \times 10^{4} horas ou 4 \times 10^{4} dias.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Uma amostra de altura \,4\\ \text{cm}\, atingiu um certo grau de adensamento em \,24\\ \text{horas}\,. Vou chamar essa amostra de caso 1, com altura \,h_1=4\\ \text{cm}\, e tempo \,t_1=24\\ \text{h}\,.
  • Quer-se o tempo para que uma camada do mesmo material, com espessura \,8\\ \text{m}\, (caso 2, altura \,h_2=8\\ \text{m}\,), atinja o mesmo grau de adensamento, sob as mesmas condições de carregamento.
  • O que é pedido: calcular o tempo t_2 (em dias) para o caso 2, e apresentar também em horas se desejado.

Passo 2

Conceito-chave (fórmula que vamos usar): para adensamento unidimensional (teoria clássica de adensamento), usa-se o fator de tempo adimensional \,T_v\: definido por
T_v=\frac{c_v\,t}{H^2},
onde:
  • \,T_v\: é o fator de tempo adimensional associado ao mesmo grau de adensamento (é sem unidade);
  • \,c_v\: é o coeficiente de adensamento do solo (unidades de comprimento²/tempo, por ex. \text{m}^2/\text{h} ou \text{m}^2/\text{s});
  • \,t\: é o tempo (mesma unidade usada em c_v);
  • \,H\: é o caminho de drenagem efetivo (a distância que a água deve percorrer para sair). Observação importante: \,H\: depende das condições de drenagem (ex.: drenagem por uma face ou por duas faces).
Explicação didática: para um mesmo grau de adensamento o valor de \,T_v\: é o mesmo. Assim, se duas situações atingem o mesmo grau de adensamento, têm o mesmo \,T_v\:, e por isso vale
\frac{c_v\,t_1}{H_1^2}=\frac{c_v\,t_2}{H_2^2}.

Passo 3

Cancelar o que é igual nas duas situações: o solo é o mesmo, então assumimos \,c_v\: igual nos dois casos. Assim a relação simplifica para
t_2 = t_1\left(\frac{H_2}{H_1}\right)^2.
Explicando em palavras: com o mesmo coeficiente e para o mesmo grau de adensamento, o tempo escala com o quadrado do caminho de drenagem. Isso significa que se o caminho de drenagem dobra, o tempo aumenta por um fator 2^2=4.

Passo 4

Observação sobre \,H\: e a altura/espessura fornecida: o enunciado dá alturas/espessuras ( \,4\\ \text{cm}\, e \,8\\ \text{m}\,). Se as condições de drenagem são as mesmas nos dois casos (por exemplo, ambos drenam de forma idêntica — por uma face ou por duas faces), então a razão \,H_2/H_1\: é igual à razão das alturas/espessuras dadas (a constante de proporcionalidade cancela). Portanto podemos usar diretamente as espessuras para calcular a razão.

Passo 5

Converter unidades para ficar consistente (tudo em metros para as distâncias):
h_1=4\\ \text{cm}=0,04\\ \text{m}, \qquad h_2=8\\ \text{m}.
Calcular a razão das alturas:
\frac{H_2}{H_1}=\frac{h_2}{h_1}=\frac{8}{0,04}=200.

Passo 6

Elevar ao quadrado a razão:
\left(\frac{H_2}{H_1}\right)^2=200^2=40\,000.
Interpretação rápida: o caminho de drenagem do caso 2 é 200 vezes maior que o do caso 1, portanto o tempo será 200^2=40\,000 vezes maior (mesma material e mesmo grau de adensamento).

Passo 7

Calcular o tempo em horas usando t_2 = t_1 (H_2/H_1)^2:
t_2 = 24\\ \text{h}\times 40\,000 = 960\,000\\ \text{h}.
Escrevendo em notação conveniente:
t_2 = 960\,000\\ \text{h} = 9,6\times10^{5}\\ \text{h} = 96\times10^{4}\\ \text{h}.

Passo 8

Converter para dias (dividindo por 24):
t_2 = \frac{960\,000}{24}\\ \text{dias} = 40\,000\\ \text{dias} = 4\times10^{4}\\ \text{dias}.

Passo 9

Comentário final e verificação das hipóteses: o cálculo acima é direto e depende da hipótese explícita de que o coeficiente \,c_v\: é o mesmo (mesmo material) e que as condições de drenagem são as mesmas nos dois casos (assim a razão de caminhos de drenagem é simplesmente a razão das espessuras). Se a drenagem fosse diferente (por exemplo, amostra de laboratório drena por duas faces e a camada de campo drena só por uma face), haveria um fator 2 no \,H\: que deveria ser considerado, mas essa diferença costuma cancelar se ambas as situações tiverem a mesma configuração de drenagem.
Força aí — mesmo que o número pareça enorme, é normal: adensamento de camadas muito espessas leva muito mais tempo porque o escoamento da água tem que percorrer distâncias muito maiores.

Resposta

t_{2}=96 \times 10^{4}\\ \text{horas}
t_{2}=4 \times 10^{4}\\ \text{dias}

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