3.4- Qual é a pressão relativa em um ponto de um fluido distante h da superfície livre se a massa específica do fluido é variável e dada por \rho=\rho_{0}=k h\left(\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right) no qual \rho_{o} é a massa específica na superfície e k uma constante.

Passo 1

O enunciado pede a pressão relativa p(h) num ponto a uma profundidade h na superfície livre de um fluido cuja massa específica varia com a profundidade. O conteúdo é estática dos fluidos e vamos usar a relação fundamental
\frac{dp}{dz} = \rho(z)\,g
onde z é a profundidade, g a aceleração da gravidade e \rho(z) a massa específica a z.

Passo 2

Modelamos a variação linear da massa específica por
\rho(z)=\rho_{0}+k\,z
com \rho_{0} massa específica na superfície z=0 e k constante. Substituindo em \frac{dp}{dz}=\rho(z)\,g, temos
\frac{dp}{dz}=(\rho_{0}+k\,z)\,g.

Passo 3

Integramos de z=0 (onde p=0) até z=h, obtendo
p(h)=\int_{0}^{h}(\rho_{0}+k\,z)\,g\,dz = g\Bigl[\rho_{0}\,z+\tfrac{k\,z^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{h} = \rho_{0}\,g\,h + \tfrac{k\,g\,h^{2}}{2}.

Resposta

A pressão relativa a profundidade h é
p(h)=\rho_{0}\,g\,h \;+\;\frac{k\,g\,h^{2}}{2}.

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