3.7- Se na superfície de um líquido em repouso o peso específico é \gamma_{0} e o módulo de compressibilidade volumétrica K for constante, determine o peso especifico do líquido a
uma distância h abaixo da superfície livre. Depois, mostre que, se o líquido for a água, K=2,0610^{9} \mathrm{~Pa}, para profundidades relativamente baixas, por exemplo \mathrm{h}=100 \mathrm{~m}, para propósitos práticos, a água pode ser considerada praticamente incompressível.

Passo 1

O enunciado pede para determinar como varia o peso específico \gamma de um líquido em repouso com a profundidade h, sabendo que no nível da superfície livre \gamma=\gamma_{0} e que o módulo de compressibilidade volumétrica K é constante. Em seguida, há que mostrar que, para água com K=2{,}06\times10^{9}\,\mathrm{Pa} e h=100\,\mathrm{m}, a variação de \gamma é desprezível e, portanto, podemos tratar a água como incompressível em profundidades relativamente baixas.

Passo 2

O módulo de compressibilidade volumétrica K é definido pela relação
K = -V\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V},
onde V é o volume e p a pressão. Como a massa m se conserva, V varia inversamente à densidade \rho. Logo
\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} = \frac{\mathrm{d}p}{K}.

Passo 3

O peso específico \gamma relaciona-se com a densidade por \gamma=\rho\,g, com g constante. Dividindo a variação de \gamma pela própria \gamma obtém-se
\frac{\mathrm{d}\gamma}{\gamma} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} = \frac{\mathrm{d}p}{K} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}\gamma = \frac{\gamma}{K}\,\mathrm{d}p.

Passo 4

Em equilíbrio hidrostático vale \mathrm{d}p=\gamma\,\mathrm{d}h. Substituindo em \mathrm{d}\gamma = (\gamma/K)\,\mathrm{d}p resulta
\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}h} = \frac{\gamma}{K}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h} = \frac{\gamma}{K}\,\gamma = \frac{\gamma^{2}}{K}.

Passo 5

A equação diferencial \mathrm{d}\gamma/\mathrm{d}h = \gamma^{2}/K separa-se como
\frac{\mathrm{d}\gamma}{\gamma^{2}} = \frac{\mathrm{d}h}{K}.
Integrando de h=0 (onde \gamma=\gamma_{0}) até h e \gamma(h)
\int_{\gamma_{0}}^{\gamma(h)}\frac{\mathrm{d}\gamma}{\gamma^{2}} = \int_{0}^{h}\frac{\mathrm{d}h}{K} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{\gamma(h)} + \frac{1}{\gamma_{0}} = \frac{h}{K}.
Isolando \gamma(h) vem
\frac{1}{\gamma(h)} = \frac{1}{\gamma_{0}} - \frac{h}{K} \quad\Longrightarrow\quad \gamma(h) = \frac{\gamma_{0}}{\,1 - \dfrac{\gamma_{0}\,h}{K}\,}.

Passo 6

Para a água usamos \gamma_{0}=9{,}81\times10^{3}\,\mathrm{N/m^{3}}, K=2{,}06\times10^{9}\,\mathrm{Pa} e h=100\,\mathrm{m}. O fator \gamma_{0}h/K vale
\frac{\gamma_{0}\,h}{K} = \frac{9{,}81\times10^{3}\times100}{2{,}06\times10^{9}} \approx 4{,}76\times10^{-4}.
Logo
\gamma(100\,\mathrm{m}) = \frac{\gamma_{0}}{1 - 4{,}76\times10^{-4}} \approx \gamma_{0}\,\bigl(1 + 4{,}76\times10^{-4}\bigr) \approx 9{,}81\times10^{3}\times1{,}000476 \approx 9{,}8147\times10^{3}\,\mathrm{N/m^{3}}.
Aumenta-se só cerca de 0{,}048\%, valor desprezível para a maior parte dos problemas de engenharia.

Resposta

\gamma(h) = \frac{\gamma_{0}}{\,1 - \dfrac{\gamma_{0}\,h}{K}\,},
e, para água com K=2{,}06\times10^{9}\,\mathrm{Pa} a h=100\,\mathrm{m}, a variação de \gamma é de apenas 0{,}048\%, o que permite tratá-la como praticamente incompressível.

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