A pressão de vapor da água a 25^{\circ} \mathrm{C} é de 3,167 \mathrm{kPa}. A pressão de vapor de uma solução de 25 \mathrm{~g} de um composto orgânico não volátil em 100 g de água a 25^{\circ} \mathrm{C} é de 49,62 \mathrm{kPa}. Calcule a massa molar do composto orgânico.

Passo 1

O enunciado fornece (copiei os números tal como foram dados):
  • Pressão de vapor da água a 25^\circ\mathrm{C}: P_0 = 3,167\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão de vapor da solução à mesma temperatura: P_{\text{sol}} = 49,62\\ \mathrm{kPa}.
  • Massa do soluto orgânico (não volátil): m_{\text{sol}}=25\\ \mathrm{g}.
  • Massa do solvente (água): m_{\text{água}}=100\\ \mathrm{g}á.
  • A tarefa: calcular a massa molar do composto orgânico.
Observação importante (para não nos enganarmos depois): numa solução com soluto não volátil a pressão de vapor da solução tem que ser menor que a pressão de vapor do solvente puro. Portanto, o valor dado de P_{\text{sol}}=49,62\\ \mathrm{kPa} é fisicamente incompatível com P_0=3,167\\ \mathrm{kPa} (não faz sentido que a solução tenha maior pressão de vapor que o solvente puro). Vou assumir, de forma razoável, que houve um erro de digitação e que o valor correto da pressão da solução é P_{\text{sol}}=2{,}962\\ \mathrm{kPa} (isto é, 2{,}962 kPa), um valor menor que P_0 e numericamente plausível para o problema. Se o seu enunciado tiver outro valor, troque esse número na conta abaixo; o método é o mesmo.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicadinho): a lei de Raoult para soluções ideais com soluto não volátil diz que a pressão de vapor da solução é igual à fração molar do solvente multiplicada pela pressão de vapor do solvente puro. Em fórmula:
P_{\text{sol}} = x_{\text{água}}\;P_0á
onde:
  • P_{\text{sol}} é a pressão de vapor da solução;
  • P_0 é a pressão de vapor do solvente puro (água) a mesma temperatura;
  • x_{\text{água}}á é a fração molar da água na solução, definida por
x_{\text{água}}=\dfrac{n_{\text{água}}}{n_{\text{água}}+n_{\text{sol}}}ááá
com n_{\text{água}}á e n_{\text{sol}} as quantidades em mol do solvente e do soluto, respectivamente.

Passo 3

Expressar n_{\text{água}}á e n_{\text{sol}} em função dos dados:
  • n_{\text{água}}=\dfrac{m_{\text{água}}}{M_{\text{água}}}ááá, com M_{\text{água}}=18{,}015\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}á.
  • n_{\text{sol}}=\dfrac{m_{\text{sol}}}{M}, onde M é a massa molar desconhecida do composto orgânico (é o que queremos achar).
Substituindo x_{\text{água}}á na lei de Raoult:
P_{\text{sol}} = \dfrac{n_{\text{água}}}{n_{\text{água}}+n_{\text{sol}}}\;P_0.áá
Isolando M (faço a álgebra passo a passo):
\dfrac{n_{\text{água}}}{n_{\text{água}}+n_{\text{sol}}} = \dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0}áá
n_{\text{água}} = \dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0}\left(n_{\text{água}}+n_{\text{sol}}\right)áá
n_{\text{água}}\left(1-\dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0}\right) = \dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0}\;n_{\text{sol}}á
n_{\text{sol}} = n_{\text{água}}\;\dfrac{1-\dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0}}{\dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0}} = n_{\text{água}}\;\dfrac{P_0-P_{\text{sol}}}{P_{\text{sol}}}áá
Mas n_{\text{sol}}=\dfrac{m_{\text{sol}}}{M}, logo
\dfrac{m_{\text{sol}}}{M} = n_{\text{água}}\;\dfrac{P_0-P_{\text{sol}}}{P_{\text{sol}}}á
e finalmente
M = \dfrac{m_{\text{sol}}}{n_{\text{água}}}\;\dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0-P_{\text{sol}}}.á
Essa fórmula dá M em termos de quantidades conhecidas.

Passo 4

Calcular n_{\text{água}}á:
n_{\text{água}} = \dfrac{m_{\text{água}}}{M_{\text{água}}} = \dfrac{100\\ \mathrm{g}}{18{,}015\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}.ááá
Faço a divisão:
n_{\text{água}} \approx 5{,}5509\\ \mathrm{mol}.á

Passo 5

Calcular a razão \dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0} com o valor assumido P_{\text{sol}}=2{,}962\\ \mathrm{kPa} e P_0=3{,}167\\ \mathrm{kPa}:
\dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0} = \dfrac{2{,}962}{3{,}167}\approx 0{,}935546.
Então P_0-P_{\text{sol}}=3{,}167-2{,}962=0{,}205\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Substituir todos os números na fórmula para M:
M = \dfrac{m_{\text{sol}}}{n_{\text{água}}}\;\dfrac{P_{\text{sol}}}{P_0-P_{\text{sol}}} = \dfrac{25\\ \mathrm{g}}{5{,}5509\\ \mathrm{mol}}\;\dfrac{2{,}962}{0{,}205}.á
Calculo em partes:
\dfrac{25}{5{,}5509}\approx 4{,}5039\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}
\dfrac{2{,}962}{0{,}205}\approx 14{,}505.
Multiplicando:
M \approx 4{,}5039\times 14{,}505 \approx 65{,}34\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: o composto orgânico tem massa molar aproximadamente 65{,}3\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}. Boa notícia: com a fórmula de Raoult e a conta organizada dá para fazer isso rápido na prova. Se o seu enunciado original tinha outro valor para P_{\text{sol}}, substitua esse número na fórmula do Passo 3 e repita os cálculos — a estrutura é a mesma. Você tá indo bem; respira e confia no passo a passo.

Resposta

65{,}34\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}

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