Pretende-se cobrear, niquelar e cromar peças metálicas, depositando-se o metal por eletrólise de soluções aquosas apropriadas de sais contendo, respectivamente, \mathrm{Cu}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})}, \mathrm{Ni}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})} \mathrm{e} \mathrm{Cr}^{3+}{ }_{(\mathrm{aq})}. Admitindo-se que esses sais sejam disponíveis e que o custo do processo de eletrólise seja apenas dependente do preço da eletricidade, a obtenção de 1 kg de cada um desses metais deve ser cada vez mais cara na seguinte ordem:
a) \mathrm{Cu}, \mathrm{Cr} e \mathrm{Ni}.
b) Cr , Ni e Cu .
c) Cu , Ni e Cr .
d) \mathrm{Cr}, \mathrm{Cu} e Ni .
e) Ni, Cr e Cu.

Passo 1

O problema pede que a gente determine, em ordem crescente de custo (ou seja, do mais barato para o mais caro), a obtenção de 1\\ \text{kg} de cada um dos metais por eletrólise das suas soluções iônicas: \mathrm{Cu}^{2+}_{(\mathrm{aq})}, \mathrm{Ni}^{2+}_{(\mathrm{aq})} e \mathrm{Cr}^{3+}_{(\mathrm{aq})}. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (sem resolver ainda):
  • Deposição por eletrólise das espécies indicadas: \mathrm{Cu}^{2+}, \mathrm{Ni}^{2+} e \mathrm{Cr}^{3+}.
  • Queremos a massa de 1\\ \text{kg} de cada metal.
  • Os sais estão disponíveis; o custo do processo depende apenas do preço da eletricidade (logo, devemos relacionar custo com energia/elétrons consumidos).
  • Estados de oxidação (extraídos do enunciado): \mathrm{Cu}^{2+}\Rightarrow n=2, \mathrm{Ni}^{2+}\Rightarrow n=2, \mathrm{Cr}^{3+}\Rightarrow n=3.
  • Massas atômicas aproximadas (usadas para a conta): \mathrm{Cu}: M_{\mathrm{Cu}} \approx 63{,}5\\ \text{g·mol}^{-1}; \mathrm{Ni}: M_{\mathrm{Ni}} \approx 58{,}7\\ \text{g·mol}^{-1}; \mathrm{Cr}: M_{\mathrm{Cr}} \approx 52{,}0\\ \text{g·mol}^{-1}.

Passo 2

Conceito-chave (explicadinho): Faraday e a relação entre carga elétrica e massa depositada. A lei de Faraday para eletrólise diz que a massa m de metal depositada é proporcional à carga elétrica Q passada pela solução. A fórmula é
m = \frac{M\,Q}{n\,F},
onde:
  • m é a massa de metal depositada (em gramas);
  • M é a massa molar do metal (em \text{g·mol}^{-1});
  • Q é a carga elétrica total passada (em coulombs, C);
  • n é o número de elétrons necessários para reduzir uma unidade de íon (neste caso, a valência: 2 para \mathrm{Cu}^{2+} e \mathrm{Ni}^{2+}, 3 para \mathrm{Cr}^{3+});
  • F é a constante de Faraday, F \approx 96485\\ \text{C·mol}^{-1} (a carga de um mol de elétrons).
    Explicando em palavras: para depositar um mol do metal precisamos de n mols de elétrons; cada mol de elétrons transporta F coulombs.

Passo 3

Isolamos a carga Q necessária para depositar uma massa dada m:
Q = \frac{n\,F\,m}{M}.
Como o enunciado diz que o custo depende apenas do preço da eletricidade (ou seja, do consumo elétrico), podemos considerar custo proporcional à quantidade de carga elétrica necessária. Se o mesmo fator de tensão aplicada for assumido ou se desprezarmos diferenças pequenas de tensão entre processos (o enunciado sugere simplificar dessa forma), então o custo energético é proporcional a Q. Para massa fixa m (aqui 1\\ \text{kg}), F e m são constantes comuns a todos os casos, portanto o que diferencia os metais é a razão
\frac{n}{M}.
Conclusão: para um mesmo m, quanto maior for \dfrac{n}{M}, maior será a carga necessária e, portanto, maior será o custo elétrico.

Passo 4

Vamos calcular \dfrac{n}{M} para cada metal usando os valores dados no Passo 1. Não precisamos calcular Q completo, basta comparar \dfrac{n}{M}.
Para cobre ( \mathrm{Cu}^{2+}, n=2, M_{\mathrm{Cu}}\approx63{,}5\\ \text{g·mol}^{-1}):
\frac{n}{M}(\mathrm{Cu})=\frac{2}{63{,}5}\approx 0{,}0315\\ (\text{mol}^{-1}\,\text{g}^{-1}).
Para níquel ( \mathrm{Ni}^{2+}, n=2, M_{\mathrm{Ni}}\approx58{,}7\\ \text{g·mol}^{-1}):
\frac{n}{M}(\mathrm{Ni})=\frac{2}{58{,}7}\approx 0{,}0341.
Para cromo ( \mathrm{Cr}^{3+}, n=3, M_{\mathrm{Cr}}\approx52{,}0\\ \text{g·mol}^{-1}):
\frac{n}{M}(\mathrm{Cr})=\frac{3}{52{,}0}\approx 0{,}0577.
Interpretação: valores maiores de \dfrac{n}{M} implicam maior carga por massa depositada e, portanto, maior custo elétrico.

Passo 5

Comparando os valores numéricos obtidos:
\frac{n}{M}(\mathrm{Cu})\approx0{,}0315 < \frac{n}{M}(\mathrm{Ni})\approx0{,}0341 < \frac{n}{M}(\mathrm{Cr})\approx0{,}0577.
Logo, a ordem de custo de obtenção de 1\\ \text{kg} (do mais barato para o mais caro) é:
\mathrm{Cu}\\ \text{(mais barato)},\\ \mathrm{Ni},\\ \mathrm{Cr}\\ \text{(mais caro)}.
Portanto a alternativa correta é a que corresponde a essa ordem.

Resposta

c) Cu, Ni e Cr.

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