Pretende-se selecionar um equipamento (máquina universal de ensaios) para ensaiar uma barra de aço de 8 mm de diâmetro externo, sabe-se que ela possui um limite de resistência a tração de 860 MPa . Qual será a capacidade mínima desse equipamento?

Passo 1

O enunciado pede: escolher a capacidade mínima (força máxima que a máquina precisa aplicar) de uma máquina de ensaios para uma barra de aço com as seguintes informações fornecidas:
  • diâmetro externo da barra: d=8\\ \text{mm} (peguei do enunciado);
  • limite de resistência à tração: \sigma_{\text{ult}}=860\\ \text{MPa} (peguei do enunciado).
    O que se quer é a força máxima que a barra suportaria à ruptura, porque a máquina deve ter pelo menos essa capacidade. Vou calcular a área da seção reta da barra e usar a relação entre tensão e força para obter essa força.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): a tensão média normal \sigma em uma seção transversal sujeita a uma força axial F é dada por
\sigma=\frac{F}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão (unidade: \text{MPa} ou \text{N}/\text{mm}^2);
  • F é a força axial (unidade: \text{N});
  • A é a área da seção transversal (unidade: \text{mm}^2 se usarmos \text{MPa}=\text{N}/\text{mm}^2).
    Rearranjando para achar a força correspondente a uma tensão dada:
F=\sigma\;A.
Observação de unidade útil: 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^2. Isso facilita usar d em \text{mm} e \sigma em \text{MPa}.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal da barra (seção circular). Fórmula da área de um círculo em função do diâmetro:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo d=8\\ \text{mm}:
d^{2}=8^{2}=64\\ \text{mm}^2,
A=\frac{\pi\cdot 64}{4}=16\pi\\ \text{mm}^2.
Agora uma aproximação numérica (usar \pi\approx 3{,}1416):
A\approx 16\cdot 3{,}1416 \approx 50{,}265\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Aplicar F=\sigma A. Usando \sigma=860\\ \text{MPa}=860\\ \text{N}/\text{mm}^2 e A em \text{mm}^2:
F = 860\cdot 16\pi\\ \text{N}.
Fazendo a conta numérica:
16\pi\approx 50{,}265,\qquad F\approx 860\cdot 50{,}265 \approx 43{,}227{,}9\\ \text{N}.
Converter para quilonewtons:
F\approx 43{,}228\\ \text{N}\approx 43{,}2\\ \text{kN}.

Passo 5

Interpretação prática e dica para a prova: o valor calculado é a força de ruptura (última resistência). A máquina de ensaios deve ter capacidade igual ou maior que esse valor. Em projeto prático costuma-se adotar uma margem (por exemplo escolher uma máquina padrão de 50\\ \text{kN}), mas matematicamente a capacidade mínima calculada é o valor acima.

Resposta

Capacidade mínima = 43{,}228\\ \text{N} \approx 43{,}2\\ \text{kN}.

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