Pesquise sobre raio de giração de uma superfície e defina abaixo como ele é calculado para os eixos x e y.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o que é o raio de giração de uma superfície e explicar como ele é calculado para os eixos x e y.
Informações dadas/assumidas: não foi fornecida uma figura nem valores numéricos; a solicitação é de definição e fórmula geral aplicável a qualquer área plana (A) e aos eixos x e y escolhidos.

Passo 2

Definição matemática dos momentos de inércia (segunda momenta) relativos aos eixos x e y.
  • Para uma área plana A num plano cartesiano com coordenadas (x,y), os momentos quadráticos (ou segundos momentos de área) em relação aos eixos que passam pela origem são dados por:
I_x=\iint_{A} y^{2}\,dA, \qquad I_y=\iint_{A} x^{2}\,dA.
Expliquei cada termo:
  • \iint_{A} significa integração dupla sobre toda a área A.
  • dA é um elemento infinitesimal de área.
  • Em I_x, cada pedacinho de área contribui com o quadrado da sua distância y ao eixo x.
  • Em I_y, a contribuição é o quadrado da distância x ao eixo y.

Passo 3

Definição do raio de giração e sua relação com os momentos de inércia.
  • O raio de giração k em torno de um eixo é o raio (distância) tal que se toda a área A fosse concentrada em um anel (ou numa linha circular) a essa distância, esse anel daria o mesmo momento quadrático da área real. Em fórmula isso aparece como:
I = A\,k^{2},
onde I é o momento quadrático da área em relação ao eixo considerado.
  • Aplicando a definição para os eixos x e y, temos:
k_x=\sqrt{\dfrac{I_x}{A}}, \qquad k_y=\sqrt{\dfrac{I_y}{A}}.
Isto é, calcular o raio de giração significa calcular primeiro I_x ou I_y e dividir pelo valor da área A, depois extrair a raiz quadrada.

Passo 4

Observações sobre eixo centróide e mudança de eixo (teorema dos eixos paralelos).
  • Se os momentos I_x e I_y forem calculados em eixos que passam pelo centróide da área (eixos centroidais), costuma-se escrever I_{x_c} e I_{y_c}, e então
k_{x_c}=\sqrt{\dfrac{I_{x_c}}{A}}, \qquad k_{y_c}=\sqrt{\dfrac{I_{y_c}}{A}}.
  • Se for preciso conhecer o momento em um eixo paralelo deslocado uma distância d do centróide, usa-se o teorema dos eixos paralelos:
I_{x}=I_{x_c}+A d^{2}, \qquad I_{y}=I_{y_c}+A d^{2},
onde d é a distância entre os eixos paralelos. Depois aplica-se k=\sqrt{I/A}.

Passo 5

Exemplo concreto (retângulo) para fixar a ideia — passo a passo.
Considere um retângulo de base b (direção x) e altura h (direção y), com área A=b\,h. Para o eixo x passando pelo centróide (eixo horizontal no meio do retângulo) e eixo y pelo centróide (eixo vertical no meio):
  • Momentos centroidais conhecidos:
I_{x_c}=\dfrac{b\,h^{3}}{12}, \qquad I_{y_c}=\dfrac{h\,b^{3}}{12}.
  • Raio de giração em relação aos eixos centroidais:
k_{x_c}=\sqrt{\dfrac{I_{x_c}}{A}} =\sqrt{\dfrac{\dfrac{b\,h^{3}}{12}}{b\,h}} =\sqrt{\dfrac{h^{2}}{12}} =\dfrac{h}{\sqrt{12}}.
k_{y_c}=\sqrt{\dfrac{I_{y_c}}{A}} =\sqrt{\dfrac{\dfrac{h\,b^{3}}{12}}{b\,h}} =\sqrt{\dfrac{b^{2}}{12}} =\dfrac{b}{\sqrt{12}}.
Comentário prático: esses resultados mostram que o raio de giração em torno do eixo horizontal depende só da dimensão vertical h e vice-versa.

Passo 6

Unidades, interpretação física e dica para prova.
  • Unidades: se A tem unidades de \text{m}^{2} e I tem unidades de \text{m}^{4}, então k tem unidades de \text{m} (boa checagem dimensional).
  • Interpretação prática: k é uma distância característica que mede a “distribuição” da área em torno do eixo — quanto maior k, mais afastada a área está do eixo.
  • Dica de prova: calcule A e I_x,I_y (usando decomposição em figuras ou tabelas de momentos conhecidos), aplique o teorema dos eixos paralelos se necessário, depois calcule k_x e k_y pela raiz quadrada de I/A.

Resposta

k_x=\sqrt{\dfrac{I_x}{A}},\quad\text{onde}\quad I_x=\iint_{A} y^{2}\,dA
k_y=\sqrt{\dfrac{I_y}{A}},\quad\text{onde}\quad I_y=\iint_{A} x^{2}\,dA

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