Questão 02 (3 Pts) - A tensão admissível é de 50 MPa na barra de latão AB e de 25 MPa na barra de alumínio BC. Sabendo que um torque de intensidade \mathrm{T}=1.250 \mathrm{~N} . \mathrm{m} é aplicado em A , determine o diâmetro necessário da barra BC

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o diâmetro necessário da barra BC (a manga externa de alumínio) sabendo que um torque \mathrm{T}=1{,}250\\ \mathrm{N\cdot m} é aplicado em A.
Informações fornecidas no enunciado e na figura:
  • Tensão admissível na barra AB: \tau_{AB,\mathrm{adm}}=50\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensão admissível na barra BC: \tau_{BC,\mathrm{adm}}=25\\ \mathrm{MPa}.
  • Torque aplicado em A: T=1{,}250\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • A figura mostra duas barras concêntricas ligadas (uma interna AB e uma externa BC), com C engastado; o torque é aplicado na extremidade externa A. (Peguei essas informações da imagem.)
  • Dados que NÃO aparecem no enunciado nem na figura (são necessários para obter um valor numérico): o diâmetro (ou raio) da barra interna AB e os módulos de cisalhamento (rigidezes G) das duas barras OU qualquer outra dimensão que permita relacionar as polaridades geométricas das barras.
Observação importante: com os dados dados (apenas admissíveis de tensão e o torque aplicado) não há número suficiente para calcular numericamente o diâmetro externo de BC. Nas próximas etapas explico a teoria, o procedimento correto e mostro exatamente quais dados faltam e como usá‑los para achar d_{BC}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas de torção que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Para uma seção circular maciça submetida a um torque T, a tensão de cisalhamento máxima na fibra externa é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo e J é o momento polar de inércia da seção.
  • Para uma barra circular maciça de diâmetro d vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32},\qquad c=\frac{d}{2},
portanto, para seção sólida
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
  • Para uma barra tubular (casco) com diâmetro externo d_{o} e interno d_{i},
J=\frac{\pi}{32}\left(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\right),\qquad c=\frac{d_{o}}{2},
e então
\tau_{\max}=\frac{T\,\tfrac{d_{o}}{2}}{\tfrac{\pi}{32}\left(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\right)} =\frac{16\,T}{\pi d_{o}^{3}\left(1-\left(\dfrac{d_{i}}{d_{o}}\right)^{4}\right)}.
Explicando em palavras: quanto maior o diâmetro externo (para igual d_i), maior J e menor a tensão por dado torque; para tubo, a presença do furo interno reduz J.

Passo 3

Como o torque total é distribuído entre as duas barras concêntricas (compatibilidade e rigidez).
  • Se as barras estão rigidamente ligadas (sem deslizamento) e têm o mesmo comprimento, a rotação por unidade de comprimento (deformação angular) é a mesma nas duas. Isso implica que o torque total T se divide em parcelas T_{1} (na barra interna AB) e T_{2} (na barra externa BC) proporcionais às rigidezes polares GJ de cada uma:
T_{1}=\frac{G_{1}J_{1}}{G_{1}J_{1}+G_{2}J_{2}}\,T,\qquad T_{2}=\frac{G_{2}J_{2}}{G_{1}J_{1}+G_{2}J_{2}}\,T,
onde G_{1} e G_{2} são os módulos de cisalhamento do material de AB e BC, respectivamente, e J_{1},J_{2} são os momentos polares de suas seções.
  • Portanto, a distribuição real de torques depende tanto das geometrias ( J) quanto das propriedades materiais ( G). Não se pode atribuir arbitrariamente T_{1} e T_{2} sem conhecer G_1,G_2 e J_1,J_2.

Passo 4

Aplicando as fórmulas ao problema com notação e equações úteis (aqui ensino passo a passo como montar a equação que você resolveria na prova se tivesse os dados faltantes).
  • Denotemos:
    • diâmetro interno (barra AB) \;d_{1} (desconhecido),
    • diâmetro externo do conjunto/manga (barra BC) \;d_{2} (o que se pede),
    • módulo de cisalhamento do material de AB: G_{1},
    • módulo de cisalhamento do material de BC: G_{2}.
  • Momentos polares:
J_{1}=\frac{\pi d_{1}^{4}}{32}, \qquad J_{2}=\frac{\pi}{32}\left(d_{2}^{4}-d_{1}^{4}\right).
  • Torques nas partes (compatibilidade de rotação):
T_{1}=\frac{G_{1}J_{1}}{G_{1}J_{1}+G_{2}J_{2}}\,T,\qquad T_{2}=\frac{G_{2}J_{2}}{G_{1}J_{1}+G_{2}J_{2}}\,T.
  • Tensões máximas resultantes:
\tau_{1,\max}=\frac{16\,T_{1}}{\pi d_{1}^{3}}\quad\text{(barra sólida \(AB\))},ó
\tau_{2,\max}=\frac{16\,T_{2}}{\pi d_{2}^{3}\left(1-\left(\dfrac{d_{1}}{d_{2}}\right)^{4}\right)}\quad\text{(manga \(BC\))}.
  • As exigências de projeto são
\tau_{1,\max}\le \tau_{AB,\mathrm{adm}}=50\\ \mathrm{MPa}, \qquad \tau_{2,\max}\le \tau_{BC,\mathrm{adm}}=25\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Como resolver numericamente para d_{2} se os dados faltantes fossem fornecidos — montagem final das equações que seriam resolvidas na prova.
  • Procedimento prático na prova (passos a executar quando se tem todos os dados):
    1. Substituir J_{1} e J_{2} nas fórmulas de T_{1} e T_{2} (usar valores de G_{1},G_{2},d_{1}).
    2. Calcular T_{1} e T_{2}.
    3. Calcular \tau_{1,\max} e \tau_{2,\max} e verificar se estão abaixo dos admissíveis.
    4. Se \tau_{2,\max}>\tau_{BC,\mathrm{adm}}, aumentar d_{2} e repetir até que \tau_{2,\max}=\tau_{BC,\mathrm{adm}} (ou até que ambas tensões fiquem abaixo dos admissíveis).
  • Existe também uma equação direta que relaciona d_{2} e d_{1} pedida pela condição de que, ao aplicar T, as tensões atinjam exatamente os limites admissíveis (caso de projeto em que se usa a capacidade máxima das duas barras):
T =\underbrace{\frac{\pi\,\tau_{AB,\mathrm{adm}}}{16}\,d_{1}^{3}}_{T_{1}\text{ correspondente ao limite de }AB} +\underbrace{\frac{\pi\,\tau_{BC,\mathrm{adm}}}{16}\,\frac{d_{2}^{4}-d_{1}^{4}}{d_{2}}}_{T_{2}\text{ correspondente ao limite de }BC},
obtida isolando T_{1} da expressão \tau_{1,\max}=50\\ \mathrm{MPa} e T_{2} de \tau_{2,\max}=25\\ \mathrm{MPa} e usando T=T_{1}+T_{2}. Esta equação permite resolver d_{2} se d_{1} for conhecido. Note que esta abordagem NÃO leva explicitamente em conta os G — ela supõe que o projeto será tal que cada parte alcance seu admissível simultaneamente; o método compatível com rigidez (ver Passo 3) é mais rigoroso, e para ele são necessários os G.

Passo 6

Conclusão prática e motivo pelo qual não é possível fornecer um número agora.
  • Falta de dados: o enunciado não fornece nem o diâmetro (ou raio) da barra interna AB nem os módulos de cisalhamento G dos materiais usados para aplicar a regra de partição de torques por rigidez. Sem pelo menos o valor de d_{1} (diâmetro de AB) não é possível calcular numericamente d_{2}.
  • O que eu precisaria para dar um valor numérico:
    • O diâmetro d_{1} da barra AB (ou outra dimensão equivalente), e
    • idealmente os módulos de cisalhamento G_{1} e G_{2} (ou a permissão de usar a aproximação de projeto em que se força cada parte a trabalhar exatamente em sua tensão admissível, usando a equação do final do Passo 5).
  • Se você me informar d_{1} (por exemplo, d_{1}= valor em mm) eu aplico imediatamente a sequência acima e lhe dou d_{2} passo a passo; se quiser posso também usar valores típicos de G para latão e alumínio para fazer um exemplo numérico.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o diâmetro de BC com os dados fornecidos; falta, no mínimo, o diâmetro da barra interna AB (e idealmente os módulos de cisalhamento G das duas barras).

Exercícios relacionados