y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\), em que \(f(t)= \begin{cases}\cos t, & \text { para } 0 \leq t<\pi \\\\ 0, & \text { para } t \geq \pi\end{cases}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado o problema de valor inicial
y''+4y=f(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0,
com f(t)\) definida por partes: \[f(t)=\begin{cases}\cos t, & 0\le t<\pi,\\[4pt] 0, & t\ge \pi.\end{cases}
  • O que precisamos encontrar: a solução y(t)\] para \(t\ge 0, ou seja, a função y(t) em cada intervalo onde f(t) tem descrição diferente (a solução será obrigatoriamente em duas partes: para 0\le t<\pi e para t\ge\pi).]

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada (passo necessário para construir a solução geral):
  • A equação homogênea é y''+4y=0.
  • Montamos a equação característica: r^2+4=0. As raízes são r=\pm 2i.
  • Para raízes complexas conjugadas a\pm bi a solução homogênea é combinação linear de \cos(bt) e \sin(bt). Aqui b=2.
  • Portanto a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais ou de acoplamento entre regiões.

Passo 3

Resolver para 0\le t<\pi (onde f(t)=\cos t) usando o método dos coeficientes indeterminados:
  • Motivação do método: como o termo forçante é combinação de senos e cossenos, tentamos uma particular da forma y_p(t)=A\cos t + B\sin t. Antes de tentar, verificamos ressonância: as frequências da homogênea são 2 (coeficiente em \cos 2t), enquanto o forçante tem frequência 1; como 1\neq 2 não há ressonância, então a forma escolhida é adequada.
  • Calcule as derivadas de y_p:
y_p'(t)=-A\sin t + B\cos t,\qquad y_p''(t)=-A\cos t - B\sin t.
  • Substituindo em y''+4y=\cos t:
(-A\cos t - B\sin t) + 4(A\cos t + B\sin t) = \cos t.
  • Agrupando termos:
( -A + 4A)\cos t + (-B + 4B)\sin t = 3A\cos t + 3B\sin t = \cos t.
  • Igualando coeficientes de \cos t e \sin t:
3A=1\implies A=\tfrac{1}{3},\qquad 3B=0\implies B=0.
  • Logo a particular é y_p(t)=\tfrac{1}{3}\cos t.
  • A solução geral em 0\le t<\pi é então
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\cos t.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0 para determinar C_1,C_2 na primeira região:
  • Calcule y(0):
y(0)=C_1\cos 0 + C_2\sin 0 + \tfrac{1}{3}\cos 0 = C_1 + 0 + \tfrac{1}{3}.
A condição y(0)=0
C_1+\tfrac{1}{3}=0\implies C_1=-\tfrac{1}{3}.
  • Calcule y'(t) (derivada geral):
y'(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t)-\tfrac{1}{3}\sin t.
Avalie em t=0:
y'(0)= -2C_1\cdot 0 + 2C_2\cdot 1 - 0 = 2C_2.
A condição y'(0)=0 2C_2=0\implies C_2=0.
  • Portanto, para 0\le t<\pi temos
y(t)=-\tfrac{1}{3}\cos(2t)+\tfrac{1}{3}\cos t = \tfrac{1}{3}\big(\cos t - \cos(2t)\big).
Pequena observação: expressar assim fica mais compacto e mais fácil de avaliar em pontos.

Passo 5

Preparar a solução para t\ge \pi: acoplamento e condições iniciais em t=\pi:
  • Para t\ge\pi o forçante é 0, então a equação é homogênea y''+4y=0. Mas devemos usar como condições iniciais em t=\pi os valores de y(\pi) e y'(\pi) vindos da solução do intervalo anterior (continuidade de y e y' em t=\pi porque a equação é de segunda ordem sem singularidade).
  • Calcule y(\pi) a partir da expressão para 0\le t<\pi. Usamos \cos\pi=-1 e \cos(2\pi)=1:
y(\pi)=\tfrac{1}{3}\big(\cos\pi-\cos 2\pi\big)=\tfrac{1}{3}(-1-1)=-\tfrac{2}{3}.
  • Calcule y'(\pi). Usamos a expressão de y'(t) com C_1=-\tfrac{1}{3},C_2=0:
y'(t)=\tfrac{2}{3}\sin(2t)-\tfrac{1}{3}\sin t.
Avalie em t=\pi. Como \sin\pi=0 e \sin 2\pi=0, obtemos
y'(\pi)=0.

Passo 6

Resolver a equação homogênea para t\ge\pi com as condições em t=\pi:
  • A solução homogênea é, como antes,
y(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t).
  • Aplicar as condições em t=\pi:
y(\pi)=A\cos(2\pi)+B\sin(2\pi)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A = -\tfrac{2}{3}.
y'(\pi)=-2A\sin(2\pi)+2B\cos(2\pi)=2B\cdot 1 = 0 \implies B=0.
  • Logo, para t\ge\pi,
y(t)=-\tfrac{2}{3}\cos(2t).

Passo 7

Verificação rápida de continuidade e forma final:
  • Em t=\pi a solução para t<\pi y(\pi)=-\tfrac{2}{3} e y'(\pi)=0, que coincidem com os valores iniciais usados para o ramo t\ge\pi. Portanto as duas peças juntam sem salto.
  • Conclusão: temos a solução em duas partes (uma para 0\le t<\pi e outra para t\ge\pi) conforme obtido.

Resposta

y(t)=\begin{cases} \tfrac{1}{3}\big(\cos t - \cos(2t)\big), & 0\le t<\pi,\\[6pt] -\tfrac{2}{3}\cos(2t), & t\ge \pi. \end{cases}]

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