Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado o problema de valor inicial
com
- O que precisamos encontrar: a solução
, ou seja, a função
em cada intervalo onde tem descrição diferente (a solução será obrigatoriamente em duas partes: para e para ).]
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada (passo necessário para construir a solução geral):
- A equação homogênea é
. - Montamos a equação característica:
. As raízes são . - Para raízes complexas conjugadas
a solução homogênea é combinação linear de e . Aqui . - Portanto a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais ou de acoplamento entre regiões.
Passo 3
Resolver para
(onde
) usando o método dos coeficientes indeterminados:
- Motivação do método: como o termo forçante é combinação de senos e cossenos, tentamos uma particular da forma
. Antes de tentar, verificamos ressonância: as frequências da homogênea são (coeficiente em ), enquanto o forçante tem frequência ; como não há ressonância, então a forma escolhida é adequada. - Calcule as derivadas de
:
- Substituindo em
:
- Agrupando termos:
- Igualando coeficientes de
e :
- Logo a particular é
. - A solução geral em
é então
Passo 4
Aplicar as condições iniciais
e
para determinar
na primeira região:
- Calcule
:
A condição
dá
- Calcule
(derivada geral):
Avalie em
:
A condição
dá
.
- Portanto, para
temos
Pequena observação: expressar assim fica mais compacto e mais fácil de avaliar em pontos.
Passo 5
Preparar a solução para
: acoplamento e condições iniciais em
:
- Para
o forçante é , então a equação é homogênea . Mas devemos usar como condições iniciais em os valores de e vindos da solução do intervalo anterior (continuidade de e em porque a equação é de segunda ordem sem singularidade). - Calcule
a partir da expressão para . Usamos e :
- Calcule
. Usamos a expressão de com :
Avalie em
. Como
e
, obtemos
Passo 6
Resolver a equação homogênea para
com as condições em
:
- A solução homogênea é, como antes,
- Aplicar as condições em
:
- Logo, para
,
Passo 7
Verificação rápida de continuidade e forma final:
- Em
a solução para dá e , que coincidem com os valores iniciais usados para o ramo . Portanto as duas peças juntam sem salto. - Conclusão: temos a solução em duas partes (uma para
e outra para ) conforme obtido.