Questão ( 3,0 pontos): Uma indústria é alimentada por uma fonte trifásica considerada balanceada, de frequência 60 hz. Para sua produção a hresma utiliza das seguintes cargas, consideradas equilibradas:
- Carga#1:
(Atrasado) - Ligação △
- Carga#2: 100 kW , FP unitário - Ligação △
- Carga#3:
(Adiantado) - Ligação Y
- Carga#4: 80 kW e 95 Kvar (Capacitivo) - Ligação Y
Se a impedância da linha de transmissão é
por fase, e a tensão de linha aplicada à carga é de 480 V :
a) A potência complexa, real, reativa e aparente consumida pelo conjunto total das cargas.
b) As correntes e as tensões de linha e de fase das cargas.
c) A potência nominal total de um banco de capacitores (ou indutores) trifásico conectado na rede desta indústria. Calcule também a capacitância de cada capacitor (ou indutância dos indutores), para elevar o fator de potência para a unidade, considerando os dois tipos de banco compensador:
e em
.
a) A potência complexa, real, reativa e aparente consumida pelo conjunto total das cargas.
b) As correntes e as tensões de linha e de fase das cargas.
c) A potência nominal total de um banco de capacitores (ou indutores) trifásico conectado na rede desta indústria. Calcule também a capacitância de cada capacitor (ou indutância dos indutores), para elevar o fator de potência para a unidade, considerando os dois tipos de banco compensador:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
Dados do enunciado (valores pegados do enunciado):
- Frequência:
. - Impedância de linha por fase:
. - Tensão de linha aplicada às cargas (tensão entre fases no ponto de carga):
. - Cargas (todas equilibradas, valores são potência trifásica total):
- Carga#1:
com fator de potência atrasado (indutiva), ligação . - Carga#2:
com , ligação . - Carga#3:
com adiantado (capacitiva), ligação . - Carga#4:
e (reativa capacitiva), ligação .
- Carga#1:
O enunciado pede:
(a) A potência complexa total do conjunto: potência aparente total , potência ativa total
e reativa total
(valores trifásicos).
(b) As correntes e as tensões de linha e de fase das cargas (ou seja: correntes de linha e tensões de fase/linha para cargas em e em
; e também vamos aproveitar a impedância de linha dada para calcular a queda de tensão na linha e a tensão na fonte).
(c) A potência reativa nominal total de um banco que se deve conectar para elevar o fator de potência a , e a indutância (ou capacitância) de cada elemento do banco para os dois arranjos possíveis:
e
. (Se o conjunto já estiver com sinal de reativo capacitivo, será necessário um banco indutivo; caso contrário, um banco capacitivo.)
(a) A potência complexa total do conjunto: potência aparente total
(b) As correntes e as tensões de linha e de fase das cargas (ou seja: correntes de linha e tensões de fase/linha para cargas em
(c) A potência reativa nominal total de um banco que se deve conectar para elevar o fator de potência a
Observações que vamos usar:
- Potência complexa trifásica total:
. - Para carga trifásica equilibrada vale a relação
de onde (em forma conveniente para cálculo) a corrente de linha é - Em ligação
: tensão de fase da carga . Em ligação : . - Para calcular ângulos,
, , e (sinal positivo para indutivo/atrasado; negativo para capacitivo/adiantado).
Agora começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Converter cada carga em sua potência complexa
. Vou explicar as fórmulas e depois calcular cada carga.
Teoria rápida (passo-a-passo):
- Se uma carga tem potência aparente
e fator de potência , então a potência ativa é e a reativa é (com sinal conforme indutiva/ capacitiva). - Se o enunciado já dá
e separadamente (como na carga#4), usamos esses números diretamente.
Cálculos (cada número em unidade kW / kVAr / kVA conforme apropriado):
Carga#1:
atrasado.
-
-
-
(sinal positivo = indutivo). -
Carga#2:
.
Carga#3:
adiantado (capacitivo).
-
-
-
Como é adiantado,é negativo: -
Carga#4:
e
(capacitiva), ligação
.
Passo 3
Somar as potências para obter a potência total trifásica do conjunto.
Somando partes reais e imaginárias:
-
-
(sinal negativo indica que, no total, o conjunto é capacitivo/adiantado) - Potência complexa total:
Calcular a potência aparente total e o FP resultante:
-
- Fator de potência total:
- Ângulo de potência total:
(ângulo negativo → corrente total adianta a tensão)
Passo 4
Calcular as correntes de linha de cada carga e as tensões de fase / linha em cada tipo de ligação.
Teoria e fórmula chave:
- Para uma carga trifásica equilibrada vale
em que é o conjugado da potência complexa trifásica e é a tensão de linha (linha-linha) aplicada às cargas. Em módulo: e o ângulo do é o negativo do ângulo de (ou seja, a corrente defasada conforme o sinal de ).
Dados:
,
(pois
).
Agora calculo as correntes de linha (valores trifásicos) para cada carga:
Carga#1 (
com ângulo
):
- Magnitude:
- Ângulo: corrente tem ângulo
(corrente atrasa a tensão). - Portanto:
Carga#2 (
, FP
, ângulo
):
-
, ângulo . -
Carga#3 (
,
porque é adiantado):
-
. - Ângulo de corrente:
(corrente adianta). -
Carga#4 (
, ângulo
):
-
-
- Ângulo de corrente:
. -
Observação sobre correntes de fase para ligações
e
:
- Em ligação
: corrente de linha corrente de fase da carga (cada elemento em uma fase). - Em ligação
: corrente de fase do elemento (na malha do delta) é com no delta; e a corrente de linha é vezes a corrente de fase e defasada em segundo relações do delta.
Cálculo explícito de correntes por fase (útil na prova):
Para cargas em
(Cargas #1 e #2):
- Carga#1: potência por fase
. Então e a corrente de linha (coincide com cálculo direto). - Carga#2:
, então
Para cargas em
(Cargas #3 e #4):
- A tensão de fase é
- Cada corrente de fase (igual à corrente de linha para conexão
) dá, por exemplo para a Carga#3: e para a Carga#4: (os módulos coincidem com os e calculados antes).
Tensões de fase e linha nas cargas:
- Para cargas
: - Para cargas
:
Passo 5
Usar a impedância de linha fornecida para calcular a queda de tensão e a tensão na fonte (envio), visto que foi dada a impedância da linha. Isto mostra como a impedância entra no problema (muito comum em prova).
Teoria: circuito trifásico equilibrado por fase: a tensão na fonte (fase) é a tensão na carga (fase) mais a queda de tensão na linha:
Como o sistema é equilibrado, basta calcular para uma fase (ex.: fase A). Usamos a corrente total por fase
que é a soma fasorial de todas as correntes por carga em uma fase — em sistema equilibrado e cargas equilibradas, essa soma é exatamente a corrente correspondente à potência total:
Cálculo numérico:
- Já temos
e ângulo , logo com ângulo (corrente total adianta a tensão). - Impedância da linha:
. Módulo e ângulo: - Queda de tensão por fase (phasor):
Módulo da queda:
Ângulo da queda:
Escrevendo em retangular para somar com: - Tensão da fonte por fase (phasor):
Módulo e ângulo: - Tensão de linha na fonte (linha-linha):
, então
Portanto a queda de tensão na linha é pequena (cerca de
por fase em módulo) e a tensão na fonte precisa ser aproximadamente
linha-linha para que as cargas recebam
.
Passo 6
Agora passo à parte (c): determinar a potência reativa nominal do banco necessário para elevar o fator de potência a
e calcular indutâncias (ou capacitâncias) por elemento para ligações
e
.
Interpretação:
- O total atual tem
(capacitivo). Para alcançar (isto é, ) é preciso adicionar um banco cuja potência reativa anule : - Como
é negativo, precisamos de um banco indutivo que consuma (ou seja, de sinais contrários aos capacitores que já existem). - Dividindo por fase:
Cálculo da indutância por ramo:
- Para um indutor conectado a uma tensão eficaz
(tensão por ramo), a potência reativa por fase é Logo (Observe que, para banco , por ramo é ; para banco , por ramo é .)
Dados numéricos:
Caso 1 — banco indutivo em
:
- Tensão por ramo:
. - Então
Caso 2 — banco indutivo em
:
- Tensão por ramo:
- Então
Observação prática (para prova): como o sinal de
é capacitivo, o banco que se deve conectar é indutivo. Se o sinal fosse indutivo (positivo), teria-se de conectar capacitores, e a fórmula análoga para capacitância por ramo seria
com
sendo a tensão por ramo correspondente (
no
,
no
).
Passo 7
Recapitulação curta dos resultados numéricos principais (esses valores serão colocados de forma compacta na seção de resposta final):
- (a) Potências:
, , , (adiantado). - (b) Tensões de fase das cargas: para
: ; para : . Correntes (linha) de cada carga: -
. -
. -
. -
. - Corrente total por fase
- Queda de tensão por fase
(ângulo ), tensão na fonte por fase , tensão de linha na fonte .
-
- (c) Banco necessário para atingir
: banco indutivo nominal (consumo indutivo). Indutâncias por ramo: - Em
: por ramal. - Em
: por ramal.
- Em
Resposta
(a)
(b) Tensões de fase nas cargas: para ligação
,
; para ligação
,
Correntes de linha (valores trifásicos):
Corrente total por fase:
Queda de tensão por fase na linha: (ângulo
). Tensão na fonte:
por fase,
linha-linha.
Correntes de linha (valores trifásicos):
Corrente total por fase:
Queda de tensão por fase na linha:
(c) Banco necessário para
:
(indutivo), ou seja
por fase. Indutância por ramo:
- Banco em
: por ramo. - Banco em
: por ramo.