2^{\prime \prime} Questão ( 3,0 pontos): Uma indústria é alimentada por uma fonte trifásica considerada balanceada, de frequência 60 hz. Para sua produção a hresma utiliza das seguintes cargas, consideradas equilibradas:
  • Carga#1: 150 \mathrm{kVA}-\mathrm{FP}=0.8 (Atrasado) - Ligação △
  • Carga#2: 100 kW , FP unitário - Ligação △
  • Carga#3: 240 \mathrm{kVA}-\mathrm{FP}=0,6 (Adiantado) - Ligação Y
  • Carga#4: 80 kW e 95 Kvar (Capacitivo) - Ligação Y
Se a impedância da linha de transmissão é 0,02+\mathrm{j} 0,05 \Omega por fase, e a tensão de linha aplicada à carga é de 480 V :
a) A potência complexa, real, reativa e aparente consumida pelo conjunto total das cargas.
b) As correntes e as tensões de linha e de fase das cargas.
c) A potência nominal total de um banco de capacitores (ou indutores) trifásico conectado na rede desta indústria. Calcule também a capacitância de cada capacitor (ou indutância dos indutores), para elevar o fator de potência para a unidade, considerando os dois tipos de banco compensador: \Delta e em Y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
Dados do enunciado (valores pegados do enunciado):
  • Frequência: f=60\\ \text{Hz}.
  • Impedância de linha por fase: \,Z_{\ell}=0,02+\mathrm{j}\,0,05\\ \Omega.
  • Tensão de linha aplicada às cargas (tensão entre fases no ponto de carga): \,V_{L,\text{carga}}=480\\ \text{V}.
  • Cargas (todas equilibradas, valores são potência trifásica total):
    • Carga#1: \,150\\ \text{kVA} com fator de potência \text{FP}=0{,}8 atrasado (indutiva), ligação \Delta.
    • Carga#2: \,100\\ \text{kW} com \text{FP}=1, ligação \Delta.
    • Carga#3: \,240\\ \text{kVA} com \text{FP}=0{,}6 adiantado (capacitiva), ligação Y.
    • Carga#4: \,80\\ \text{kW} e \,95\\ \text{kVAr} (reativa capacitiva), ligação Y.
O enunciado pede:
(a) A potência complexa total do conjunto: potência aparente total \,S_{tot}, potência ativa total P_{tot} e reativa total Q_{tot} (valores trifásicos).
(b) As correntes e as tensões de linha e de fase das cargas (ou seja: correntes de linha e tensões de fase/linha para cargas em \Delta e em Y; e também vamos aproveitar a impedância de linha dada para calcular a queda de tensão na linha e a tensão na fonte).
(c) A potência reativa nominal total de um banco que se deve conectar para elevar o fator de potência a 1, e a indutância (ou capacitância) de cada elemento do banco para os dois arranjos possíveis: \Delta e Y. (Se o conjunto já estiver com sinal de reativo capacitivo, será necessário um banco indutivo; caso contrário, um banco capacitivo.)
Observações que vamos usar:
  • Potência complexa trifásica total: \,S = P + \mathrm{j}Q.
  • Para carga trifásica equilibrada vale a relação S=\sqrt{3}\,V_L\,I_L^{*},de onde (em forma conveniente para cálculo) a corrente de linha é I_L=\frac{S^{*}}{\sqrt{3}\,V_L}.
  • Em ligação \Delta: tensão de fase da carga V_{\text{fase}}=V_L. Em ligação Y: V_{\text{fase}}=V_L/\sqrt{3}.
  • Para calcular ângulos, \cos\varphi=\text{FP}, \varphi=\operatorname{arccos}(\text{FP}), e Q=P\tan\varphi (sinal positivo para indutivo/atrasado; negativo para capacitivo/adiantado).
Agora começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Converter cada carga em sua potência complexa S=P+\mathrm{j}Q. Vou explicar as fórmulas e depois calcular cada carga.
Teoria rápida (passo-a-passo):
  • Se uma carga tem potência aparente S_{\text{trifás}}á e fator de potência \text{FP}=\cos\varphi, então a potência ativa é P=S\cos\varphi e a reativa é Q=P\tan\varphi (com sinal conforme indutiva/ capacitiva).
  • Se o enunciado já dá P e Q separadamente (como na carga#4), usamos esses números diretamente.
Cálculos (cada número em unidade kW / kVAr / kVA conforme apropriado):
Carga#1: \,150\\ \text{kVA},\\ \text{FP}=0{,}8 atrasado.
  • \cos\varphi_1=0{,}8 \Rightarrow \varphi_1=\operatorname{arccos}(0{,}8)\approx36{,}8699^\circ.
  • P_1 = 150\cdot 0{,}8 = 120\\ \text{kW}.
  • Q_1 = P_1\tan\varphi_1 = 120\cdot\tan(36{,}8699^\circ)=120\cdot 0{,}75=90\\ \text{kVAr} (sinal positivo = indutivo).
  • \displaystyle S_1 = 120 + \mathrm{j}90\\ \text{kVA}.
Carga#2: 100\\ \text{kW},\\ \text{FP}=1.
  • P_2=100\\ \text{kW},\\ Q_2=0.
  • \displaystyle S_2 = 100 + \mathrm{j}0\\ \text{kVA}.
Carga#3: 240\\ \text{kVA},\\ \text{FP}=0{,}6 adiantado (capacitivo).
  • \cos\varphi_3=0{,}6 \Rightarrow \varphi_3=\operatorname{arccos}(0{,}6)\approx53{,}1301^\circ.
  • P_3 = 240\cdot 0{,}6 = 144\\ \text{kW}.
  • Q_3 = P_3\tan\varphi_3 = 144\cdot\tan(53{,}1301^\circ)=144\cdot \frac{4}{3}=144\cdot 1{,}333\ldots =192\\ \text{kVAr}.
    Como é adiantado, Q_3 é negativo: Q_3=-192\\ \text{kVAr}.
  • \displaystyle S_3 = 144 - \mathrm{j}192\\ \text{kVA}.
Carga#4: P_4=80\\ \text{kW} e Q_4=-95\\ \text{kVAr} (capacitiva), ligação Y.
  • \displaystyle S_4 = 80 - \mathrm{j}95\\ \text{kVA}.

Passo 3

Somar as potências para obter a potência total trifásica do conjunto.
Somando partes reais e imaginárias:
  • P_{tot}=P_1+P_2+P_3+P_4=120+100+144+80=444\\ \text{kW}.
  • Q_{tot}=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4=90+0-192-95= -197\\ \text{kVAr}.
    (sinal negativo indica que, no total, o conjunto é capacitivo/adiantado)
  • Potência complexa total: \displaystyle S_{tot}=P_{tot}+\mathrm{j}Q_{tot}=444-\mathrm{j}197\\ \text{kVA}.
Calcular a potência aparente total e o FP resultante:
  • |S_{tot}|=\sqrt{444^2+(-197)^2}=\sqrt{197136+38809}=\sqrt{235945}\approx485{,}78\\ \text{kVA}.
  • Fator de potência total: \displaystyle \text{FP}_{tot}=\frac{P_{tot}}{|S_{tot}|}=\frac{444}{485{,}78}\approx0{,}9143.
  • Ângulo de potência total: \varphi_{tot}=\arctan\!\left(\frac{Q_{tot}}{P_{tot}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-197}{444}\right)\approx -23{,}96^\circ.
    (ângulo negativo → corrente total adianta a tensão)

Passo 4

Calcular as correntes de linha de cada carga e as tensões de fase / linha em cada tipo de ligação.
Teoria e fórmula chave:
  • Para uma carga trifásica equilibrada vale \displaystyle I_L=\frac{S^{*}}{\sqrt{3}\,V_L},em que S^{*} é o conjugado da potência complexa trifásica e V_L é a tensão de linha (linha-linha) aplicada às cargas. Em módulo: |I_L|=\frac{|S|}{\sqrt{3}\,V_L},e o ângulo do I_L é o negativo do ângulo de S (ou seja, a corrente defasada conforme o sinal de Q).
Dados: \,V_{L,\text{carga}}=480\\ \text{V}, \sqrt{3}\,V_L=831{,}38\\ \text{V} (pois \sqrt{3}\cdot 480\approx831{,}38).
Agora calculo as correntes de linha (valores trifásicos) para cada carga:
Carga#1 ( S_1=150\\ \text{kVA} com ângulo \varphi_1=+36{,}87^\circ):
  • Magnitude: |I_{L1}|=\frac{150\,000}{\sqrt{3}\cdot 480}=\frac{150000}{831{,}38}\approx180{,}45\\ \text{A}.
  • Ângulo: corrente tem ângulo -\varphi_1=-36{,}87^\circ (corrente atrasa a tensão).
  • Portanto: I_{L1}\approx 180{,}45\angle -36{,}87^\circ\\ \text{A}.
Carga#2 ( 100\\ \text{kW}, FP =1, ângulo 0^\circ):
  • |I_{L2}|=\dfrac{100000}{831{,}38}\approx120{,}30\\ \text{A}, ângulo 0^\circ.
  • I_{L2}\approx 120{,}30\angle 0^\circ\\ \text{A}.
Carga#3 ( 240\\ \text{kVA}, \varphi_3=-53{,}13^\circ porque é adiantado):
  • |I_{L3}|=\dfrac{240000}{831{,}38}\approx288{,}68\\ \text{A}.
  • Ângulo de corrente: -\varphi_3 = -(-53{,}13^\circ)=+53{,}13^\circ (corrente adianta).
  • I_{L3}\approx 288{,}68\angle +53{,}13^\circ\\ \text{A}.
Carga#4 ( S_4=80-\mathrm{j}95\\ \text{kVA}, ângulo \varphi_4=\arctan(-95/80)\approx -50{,}19^\circ):
  • |S_4|=\sqrt{80^2+95^2}\approx124{,}18\\ \text{kVA}.
  • |I_{L4}|=\dfrac{124180}{831{,}38}\approx149{,}48\\ \text{A}.
  • Ângulo de corrente: -\varphi_4=+50{,}19^\circ.
  • I_{L4}\approx 149{,}48\angle +50{,}19^\circ\\ \text{A}.
Observação sobre correntes de fase para ligações \Delta e Y:
  • Em ligação Y: corrente de linha = corrente de fase da carga (cada elemento em uma fase).
  • Em ligação \Delta: corrente de fase do elemento (na malha do delta) é I_{\text{fase, }\Delta}=\frac{S_{\text{total, carga}}/3}{V_{\text{fase}}},com V_{\text{fase}}=V_L no delta; e a corrente de linha é \sqrt{3} vezes a corrente de fase e defasada em 30^\circ segundo relações do delta.
Cálculo explícito de correntes por fase (útil na prova):
Para cargas em \Delta (Cargas #1 e #2):
  • Carga#1: potência por fase S_{1,\varphi}=150/3=50\\ \text{kVA}. Então I_{1,\varphi}=\frac{50\,000}{480}\angle -36{,}87^\circ \approx 104{,}17\angle -36{,}87^\circ\\ \text{A}e a corrente de linha I_{L1}=\sqrt{3}\,I_{1,\varphi}\approx180{,}45\angle -36{,}87^\circ\\ \text{A} (coincide com cálculo direto).
  • Carga#2: S_{2,\varphi}=100/3\approx33{,}333\\ \text{VA}, então I_{2,\varphi}=\frac{33\,333}{480}\approx69{,}44\angle 0^\circ\\ \text{A},\quad I_{L2}=\sqrt{3}\cdot69{,}44\approx120{,}30\angle 0^\circ\\ \text{A}.
Para cargas em Y (Cargas #3 e #4):
  • A tensão de fase é V_{\varphi}= \frac{V_L}{\sqrt{3}}=\frac{480}{\sqrt{3}}\approx277{,}13\\ \text{V}.
  • Cada corrente de fase (igual à corrente de linha para conexão Y) dá, por exemplo para a Carga#3: I_{3,\varphi}=\frac{80\,000}{277{,}13}\angle -53{,}13^\circ \approx 288{,}68\angle +53{,}13^\circ\\ \text{A},e para a Carga#4: I_{4,\varphi}=\frac{41\,393{,}33}{277{,}13}\angle -50{,}19^\circ \approx149{,}48\angle +50{,}19^\circ\\ \text{A},(os módulos coincidem com os I_{L3} e I_{L4} calculados antes).
Tensões de fase e linha nas cargas:
  • Para cargas \Delta: V_{\text{fase}}^{\Delta}=V_L=480\\ \text{V}.
  • Para cargas Y: V_{\text{fase}}^{Y}=V_L/\sqrt{3}\approx277{,}13\\ \text{V}.

Passo 5

Usar a impedância de linha fornecida para calcular a queda de tensão e a tensão na fonte (envio), visto que foi dada a impedância da linha. Isto mostra como a impedância entra no problema (muito comum em prova).
Teoria: circuito trifásico equilibrado por fase: a tensão na fonte (fase) é a tensão na carga (fase) mais a queda de tensão na linha:
V_{s,\varphi}=V_{r,\varphi}+Z_{\ell}\,I_{\varphi,\text{total}}.
Como o sistema é equilibrado, basta calcular para uma fase (ex.: fase A). Usamos a corrente total por fase I_{\text{tot}} que é a soma fasorial de todas as correntes por carga em uma fase — em sistema equilibrado e cargas equilibradas, essa soma é exatamente a corrente correspondente à potência total:
I_{\text{tot}}=\frac{S_{tot}^{*}}{\sqrt{3}\,V_L}.
Cálculo numérico:
  • Já temos |S_{tot}|\approx485{,}78\\ \text{kVA} e ângulo \varphi_{tot}\approx -23{,}96^\circ, logo I_{L,\text{tot}}=\frac{S_{tot}^{*}}{\sqrt{3}\,V_L}\Rightarrow |I_{L,\text{tot}}|=\frac{485{,}78\times10^3}{831{,}38}\approx584{,}50\\ \text{A},com ângulo -(\varphi_{tot})=+23{,}96^\circ (corrente total adianta a tensão).
  • Impedância da linha: Z_{\ell}=0{,}02+\mathrm{j}0{,}05\\ \Omega. Módulo e ângulo: |Z_{\ell}|=\sqrt{0{,}02^2+0{,}05^2}\approx0{,}0538516\\ \Omega,\quad \angle Z_{\ell}\approx 68{,}20^\circ.
  • Queda de tensão por fase (phasor): \Delta V_{\varphi}=Z_{\ell}\,I_{L,\text{tot}}.Módulo da queda: |\Delta V_{\varphi}|=|Z_{\ell}|\cdot|I_{L,\text{tot}}|\approx0{,}0538516\cdot584{,}50\approx31{,}49\\ \text{V}.
    Ângulo da queda: 23{,}96^\circ+68{,}20^\circ\approx92{,}16^\circ.
    Escrevendo em retangular para somar com V_{r,\varphi}=277{,}13\angle 0^\circ: \Delta V_{\varphi}\approx -1{,}19 + \mathrm{j}31{,}47\\ \text{V}.
  • Tensão da fonte por fase (phasor): V_{s,\varphi}=V_{r,\varphi}+\Delta V_{\varphi}\approx (277{,}13-1{,}19)+\mathrm{j}31{,}47\approx 275{,}94+\mathrm{j}31{,}47.Módulo e ângulo: |V_{s,\varphi}|\approx\sqrt{275{,}94^2+31{,}47^2}\approx277{,}79\\ \text{V},\quad \angle V_{s,\varphi}\approx 6{,}52^\circ.
  • Tensão de linha na fonte (linha-linha): V_{s,L}=\sqrt{3}\,V_{s,\varphi}, então |V_{s,L}|\approx\sqrt{3}\cdot277{,}79\approx480{,}90\\ \text{V}.
Portanto a queda de tensão na linha é pequena (cerca de 31{,}5\\ \text{V} por fase em módulo) e a tensão na fonte precisa ser aproximadamente 480{,}90\\ \text{V} linha-linha para que as cargas recebam 480\\ \text{V}.

Passo 6

Agora passo à parte (c): determinar a potência reativa nominal do banco necessário para elevar o fator de potência a 1 e calcular indutâncias (ou capacitâncias) por elemento para ligações \Delta e Y.
Interpretação:
  • O total atual tem Q_{tot}=-197\\ \text{kVAr} (capacitivo). Para alcançar \text{FP}=1 (isto é, Q_{\text{novo}}=0) é preciso adicionar um banco cuja potência reativa Q_{\text{banco}} anule Q_{tot}: Q_{\text{banco}} = -Q_{tot} = 197\\ \text{kVAr}.
  • Como Q_{tot} é negativo, precisamos de um banco indutivo que consuma 197\\ \text{kVAr} (ou seja, de sinais contrários aos capacitores que já existem).
  • Dividindo por fase: Q_{\text{fase}}=\frac{197\,000}{3}\approx65{,}666{,}7\\ \text{VAr por fase (módulo).}ó
Cálculo da indutância por ramo:
  • Para um indutor conectado a uma tensão eficaz V (tensão por ramo), a potência reativa por fase é Q_{\text{fase}}=\frac{V^2}{\omega L},\quad \text{onde}\\ \omega=2\pi f.Logo L=\frac{V^2}{\omega Q_{\text{fase}}}.(Observe que, para banco \Delta, V por ramo é V_L; para banco Y, V por ramo é V_L/\sqrt{3}.)
Dados numéricos: \omega=2\pi\cdot 60\approx376{,}9911\\ \text{rad/s}.
Caso 1 — banco indutivo em \Delta:
  • Tensão por ramo: V=V_L=480\\ \text{V}.
  • Então L_{\Delta}=\frac{480^2}{\omega\cdot 65{,}666{,}7}\approx\frac{230{,}400}{376{,}9911\cdot65{,}666{,}7}\approx 0{,}009306\\ \text{H}\approx 9{,}31\\ \text{mH}.
Caso 2 — banco indutivo em Y:
  • Tensão por ramo: V=V_L/\sqrt{3}\approx277{,}13\\ \text{V}.
  • Então L_{Y}=\frac{(277{,}13)^2}{\omega\cdot 65{,}666{,}7}=\frac{480^2/3}{\omega\cdot 65{,}666{,}7}=\frac{L_{\Delta}}{3}\approx0{,}003102\\ \text{H}\approx 3{,}10\\ \text{mH}.
Observação prática (para prova): como o sinal de Q_{tot} é capacitivo, o banco que se deve conectar é indutivo. Se o sinal fosse indutivo (positivo), teria-se de conectar capacitores, e a fórmula análoga para capacitância por ramo seria
C=\frac{Q_{\text{fase}}}{\omega V^2},
com V sendo a tensão por ramo correspondente ( V_L no \Delta, V_L/\sqrt{3} no Y).

Passo 7

Recapitulação curta dos resultados numéricos principais (esses valores serão colocados de forma compacta na seção de resposta final):
  • (a) Potências: P_{tot}=444\\ \text{kW}, Q_{tot}=-197\\ \text{kVAr}, |S_{tot}|\approx485{,}78\\ \text{kVA}, \text{FP}_{tot}\approx0{,}9143 (adiantado).
  • (b) Tensões de fase das cargas: para \Delta: V_{\varphi}^{\Delta}=480\\ \text{V}; para Y: V_{\varphi}^{Y}\approx277{,}13\\ \text{V}. Correntes (linha) de cada carga:
    • I_{L1}\approx180{,}45\angle -36{,}87^\circ\\ \text{A}.
    • I_{L2}\approx120{,}30\angle 0^\circ\\ \text{A}.
    • I_{L3}\approx288{,}68\angle +53{,}13^\circ\\ \text{A}.
    • I_{L4}\approx149{,}48\angle +50{,}19^\circ\\ \text{A}.
    • Corrente total por fase I_{L,\text{tot}}\approx584{,}50\angle +23{,}96^\circ\\ \text{A}.
    • Queda de tensão por fase |\Delta V_{\varphi}|\approx31{,}49\\ \text{V} (ângulo \approx92{,}16^\circ), tensão na fonte por fase |V_{s,\varphi}|\approx277{,}79\\ \text{V}, tensão de linha na fonte |V_{s,L}|\approx480{,}90\\ \text{V}.
  • (c) Banco necessário para atingir \text{FP}=1: banco indutivo nominal Q_{\text{banco}}=197\\ \text{kVAr} (consumo indutivo). Indutâncias por ramo:
    • Em \Delta: L_{\Delta}\approx 9{,}31\\ \text{mH} por ramal.
    • Em Y: L_Y\approx 3{,}10\\ \text{mH} por ramal.

Resposta

(a) \displaystyle S_{tot}=444-\mathrm{j}197\\ \text{kVA},\quad P_{tot}=444\\ \text{kW},\quad Q_{tot}=-197\\ \text{kVAr},\quad |S_{tot}|\approx485{,}78\\ \text{kVA},\quad \text{FP}_{tot}\approx0{,}9143\\ (\text{adiantado}).
(b) Tensões de fase nas cargas: para ligação \Delta, V_{\varphi}^{\Delta}=480\\ \text{V}; para ligação Y, V_{\varphi}^{Y}=480/\sqrt{3}\approx277{,}13\\ \text{V}.
Correntes de linha (valores trifásicos):
I_{L1}\approx180{,}45\angle -36{,}87^\circ\\ \text{A},
I_{L2}\approx120{,}30\angle 0^\circ\\ \text{A},
I_{L3}\approx288{,}68\angle +53{,}13^\circ\\ \text{A},
I_{L4}\approx149{,}48\angle +50{,}19^\circ\\ \text{A}.
Corrente total por fase: I_{L,\text{tot}}\approx584{,}50\angle +23{,}96^\circ\\ \text{A}.
Queda de tensão por fase na linha: |\Delta V_{\varphi}|\approx31{,}49\\ \text{V} (ângulo \approx92{,}16^\circ). Tensão na fonte: |V_{s,\varphi}|\approx277{,}79\\ \text{V} por fase, |V_{s,L}|\approx480{,}90\\ \text{V} linha-linha.
(c) Banco necessário para \text{FP}=1: Q_{\text{banco}}=197\\ \text{kVAr} (indutivo), ou seja Q_{\text{fase}}\approx65{,}6667\\ \text{kVAr} por fase. Indutância por ramo:
  • Banco em \Delta: L_{\Delta}\approx 0{,}009306\\ \text{H}\approx 9{,}31\\ \text{mH} por ramo.
  • Banco em Y: L_{Y}\approx 0{,}003102\\ \text{H}\approx 3{,}10\\ \text{mH} por ramo.

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