3^{a} Questão (2,0 pontos):

Qual a diferença entre valores de linha e fase, para as correntes e tensões, em ligações Y e \Delta ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a diferença entre valores de linha e de fase, para correntes e tensões, em ligações Y e \Delta.
Informações/pressupostos que vamos usar (não foi dado mais nada no enunciado, então adotamos o caso mais comum para explicação): circuito trifásico equilibrado em regime senoidal estacionário, convenção de sequência positiva (fase a, b, c espaçadas de 120^\circ). Não há valores numéricos obrigatórios no enunciado — vamos derivar as relações gerais entre magnitudes e ângulos.

Passo 2

Definições importantes (para ficar tudo clarinho):
  • Tensão de fase ( V_{ph}): tensão aplicada a um único elemento fase do circuito. Em ligação Y é tensão entre uma fase e o neutro (por ex. V_{an}). Em ligação \Delta é a tensão entre os dois terminais da bobina de fase (por ex. V_{ab}).
  • Tensão de linha ( V_{L}): tensão entre dois condutores de linha (por ex. V_{ab}, V_{bc}, V_{ca}).
  • Corrente de fase ( I_{ph}): corrente que passa por uma única bobina/fase do banco de carga.
  • Corrente de linha ( I_{L}): corrente que circula no condutor de linha que alimenta a cada vértice do sistema trifásico.
    Essas definições são essenciais: linha = entre condutores externos; fase = através da bobina/fase individual.

Passo 3

Relações em ligação Y (estrela)
  • Geometria: cada fase está entre um condutor de fase e o neutro. Logo a corrente que sai do condutor de linha entra diretamente na respectiva bobina de fase. Por isso, para Y: I_{L} = I_{ph}.Explanação: cada linha alimenta uma única fase; não há soma de ramos no ponto de conexão da linha com a bobina.
  • Tensões: a tensão de fase é a tensão entre fase e neutro (por ex. V_{an}=V_{ph}). A tensão de linha entre duas fases é a diferença de duas tensões de fase, por exemplo V_{ab}=V_{an}-V_{bn}.Para o sistema equilibrado, tomemos V_{an}=V_{ph}\angle 0^\circ e V_{bn}=V_{ph}\angle -120^\circ. Calculamos: V_{ab}=V_{ph}\bigl(1-e^{-j120^\circ}\bigr).Calculemos o fator: 1-e^{-j120^\circ}= \tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\,e^{j30^\circ}. Logo V_{ab}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle 30^\circ.Conclusão para Y: V_{L}=\sqrt{3}\,V_{ph}\quad\text{(em magnitude)},\qquad V_{L}\\ \text{antecede}\\ V_{ph}\\ \text{por }30^\circ.
  • Resumo prático para Y: \boxed{I_{L}=I_{ph},\qquad V_{L}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle 30^\circ.}

Passo 4

Relações em ligação \Delta (triângulo)
  • Geometria: cada bobina de fase está entre duas linhas. Assim, a tensão na bobina de fase é exatamente a tensão entre essas duas linhas. Portanto, para \Delta: V_{ph}=V_{L}.Explicação: a bobina está conectada diretamente entre duas fases, sem neutro no meio.
  • Correntes: a corrente em cada linha é a soma (mais precisamente, a diferença de acordo com orientação) de duas correntes de ramo que chegam/saem nesse nó. Por exemplo, corrente na linha a é I_{a}=I_{ab}-I_{ca},sendo I_{ab} a corrente na bobina entre a e b e I_{ca} a corrente na bobina entre c e a. Para sistema equilibrado, suponha que todas as correntes de fase têm a mesma magnitude I_{ph} e ângulos separados de 120^\circ. Tomando I_{ab}=I_{ph}\angle\varphi e I_{ca}=I_{ph}\angle(\varphi+120^\circ), obtemos I_{a}=I_{ph}\bigl(1-e^{j120^\circ}\bigr).Calculemos o fator: 1-e^{j120^\circ}=\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\,e^{-j30^\circ}. Logo I_{a}=\sqrt{3}\,I_{ph}\angle -30^\circ.Conclusão para \Delta: I_{L}=\sqrt{3}\,I_{ph}\quad\text{(em magnitude)},\qquad I_{L}\\ \text{defasa de}\\ I_{ph}\\ \text{em }30^\circ\\ (\text{linha}\\ \text{atrás/à}\\ \text{posição relativa dependendo da referência}).áàçãê
  • Resumo prático para \Delta: \boxed{V_{L}=V_{ph},\qquad I_{L}=\sqrt{3}\,I_{ph}\angle -30^\circ\\ (\text{relativo à referência de }I_{ph}).}àê

Passo 5

Interpretação física e dica de prova (modo amigo):
  • O fator \sqrt{3} surge porque as grandezas de linha são combinações vetoriais (diferenças ou somas) de duas fasores de fase separadas de 120^\circ. Geometricamente, a diferença de dois vetores a 120^\circ dá um vetor com magnitude \sqrt{3} vezes o original e deslocamento angular 30^\circ.
  • Em provas: memorize as relações simples de magnitude e o fato de o deslocamento ser 30^\circ:
    • Para Y: V_{L}=\sqrt{3}V_{ph} e I_{L}=I_{ph}.
    • Para \Delta: V_{L}=V_{ph} e I_{L}=\sqrt{3}I_{ph}.
      Depois, se pedirem ângulos, lembre-se: em Y a tensão de linha antecipa a de fase em 30^\circ; em \Delta a corrente de linha fica deslocada 30^\circ em relação à corrente de fase (veja o passo 3 e 4 para as derivadas formais).
  • Exemplo rápido (para fixar): se em estrela V_{ph}=100\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}, então V_{L}=173,2\angle 30^\circ\\ \mathrm{V}. Se em delta I_{ph}=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}, então I_{L}=17,32\angle -30^\circ\\ \mathrm{A}.

Resposta

Para ligação Y: I_{L}=I_{ph} e V_{L}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle 30^\circ.
Para ligação \Delta: V_{L}=V_{ph} e I_{L}=\sqrt{3}\,I_{ph}\angle -30^\circ.

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