Se f^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x-2)^{n}}{n^{2}+1}, determine f(1,5) com precisão de três casas decimais.

Passo 1

O enunciado nos dá
f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x-2)^{n}}{n^{2}+1}
e pede f(1,5). O conteúdo aqui é a integração de séries de potências termo a termo. Para definir f(x) a partir de f'(x) precisamos de uma constante de integração; vamos escolher a condição natural
f(2)=0.

Passo 2

Verificamos o raio de convergência da série de f'(x). Como é uma soma de termos (x-2)^n, pela razão ou pelo fato de ser uma série geométrica modificada, o raio é R=1. Logo, podemos usar a expansão para todo x com \lvert x-2\rvert<1, em particular em x=1,5.

Passo 3

Integramos termo a termo:
f(x) = f(2) + \int_{2}^{x}f'(t)\,dt = 0 + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}+1}\int_{2}^{x}(t-2)^{n}dt.
Fazendo u=t-2, \int_{2}^{x}(t-2)^{n}dt=\int_{0}^{x-2}u^{n}du=\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}. Assim,
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x-2)^{n+1}}{(n+1)(n^{2}+1)}.

Passo 4

Para x=1,5 temos x-2=-0,5. Logo
f(1,5) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(-0,5)^{\,n+1}}{(n+1)(n^{2}+1)}.
Observe que
(-1)^{n}(-0,5)^{n+1} =(-1)^{n}\,(-1)^{\,n+1}0,5^{\,n+1} =(-1)^{2n+1}0,5^{\,n+1}=-0,5^{\,n+1},
portanto
f(1,5)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0,5^{\,n+1}}{(n+1)(n^{2}+1)}.

Passo 5

Agora computamos numericamente a série
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0,5^{\,n+1}}{(n+1)(n^{2}+1)}
tomando termos até que sejam insignificantes (menores que 10^{-4}, para garantir três casas decimais em f(1,5)):
n =0: \displaystyle \frac{0,5^{1}}{1\cdot(0^{2}+1)}=0,500000
n =1: \displaystyle \frac{0,5^{2}}{2\cdot2}=0,062500
n =2: \displaystyle \frac{0,5^{3}}{3\cdot5}=0,008333
n =3: \displaystyle \frac{0,5^{4}}{4\cdot10}=0,001562
n =4: \displaystyle \frac{0,5^{5}}{5\cdot17}=0,000368
n =5: \displaystyle 0,000100
n =6: \displaystyle 0,000030
n =7: \displaystyle 0,0000098
n =8: \displaystyle 0,0000033
Somando até n=8 já temos
S\approx 0,572909.

Passo 6

Como f(1,5)=-S, concluímos
f(1,5)\approx -0,572909\approx -0,573.

Resposta

-0,573

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