O principal mecanismo de transporte de CO2 da atmosfera para o oceano é através de sua dissolução em gotas de chuva. Matematicamente, este processo pode ser representado pelo seguinte modelo de difusão:
partial Cpartial t=D(partial^2 Cpartial r^2+2r partial Cpartial r)
Sabendo que C é a concentração [mol / m^3], t é o tempo [s], r é o raio [m] e D é a difusividade do CO2 na água, o que deve acontecer, em termos dimensionais, para que o modelo seja consistente? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa resolver aqui. A questão fala sobre como o CO2 se move da atmosfera para o oceano através da dissolução em gotas de chuva. Matematicamente, isso é representado por uma equação de difusão. Nosso objetivo é verificar se todas as partes dessa equação estão dimensionais consistentes, ou seja, se as unidades de medida em cada termo fazem sentido juntas. Para isso, vamos precisar entender um pouco de análise dimensional e como aplicar isso nas equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada termo na equação. Sabemos que:
  • C é a concentração de CO2, medida em [mol / m^3].
  • t é o tempo, em segundos [s].
  • r é o raio, em metros [m].
  • D é a difusividade, cuja unidade vamos descobrir.
A equação dada é:
partial Cpartial t=D(partial^2 Cpartial r^2+2r partial Cpartial r)

Passo 3

Vamos analisar cada termo da equação para verificar as dimensões.
Começando pelo lado esquerdo da equação, partial Cpartial t:
  • C tem unidade de [mol / m^3].
  • t tem unidade de [s].
    Então, a dimensão de partial Cpartial t é [mol / m^3 cdot s]^-1.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o lado direito da equação:
D(partial^2 Cpartial r^2+2r partial Cpartial r)
Primeiro, a derivada partial^2 Cpartial r^2:
  • r tem unidade de [m].
  • Portanto, cada derivada em relação a r traz uma divisão por m.
  • Assim, partial^2 Cpartial r^2 tem dimensão de [mol / m^3 cdot m^2]^-1 = [mol / m^5].
A segunda derivada 2r partial Cpartial r:
  • 2r tem dimensão de [m^-1].
  • partial Cpartial r tem dimensão de [mol / m^3 cdot m]^-1 = [mol / m^4].
  • Multiplicando, temos [m^-1] cdot [mol / m^4] = [mol / m^5].
Portanto, todo o termo dentro dos parênteses tem dimensão de [mol / m^5].

Passo 5

Agora, multiplicando pelo D:
  • O lado direito da equação deve ter a mesma dimensão que o lado esquerdo, que vimos ser [mol / m^3 cdot s]^-1.
  • O termo dentro dos parênteses tem dimensão de [mol / m^5].
  • Para que as dimensões sejam iguais, D deve ter dimensão de [m^2 / s].

Passo 6

Concluímos que para a equação de difusão ser dimensionalmente consistente, a difusividade D deve ter unidades de [m^2 / s]. Isso garante que ambos os lados da equação tenham as mesmas unidades, mantendo a consistência dimensional.

Resposta

Para que o modelo de difusão seja dimensionalmente consistente, a difusividade D deve possuir unidades de [m^2 / s]. Isso assegura que todas as partes da equação tenham dimensões compatíveis.

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