A secagem configura-se como uma das operações unitárias mais importantes em engenharia química. Isto se deve a quantidade de aplicações que podem ser desenvolvidas a partir deste fenômeno. Para uma dada aplicação, este fenômeno pode ser representado pelo seguinte sistema de equações diferenciais parciais:
partial Mpartial t=D partial^2 Mpartial x^2-k1 T, 0
em que t[s] é o tempo, x[m] é a coordenada espacial, L[m] é o comprimento característico, M [w.b.] é o teor de umidade, T[ ^circ C] é a temperatura, D[m^2 / s] representa o coeficiente de difusão, alpha[m^2 / s] é difusividade térmica e k1[ w.b. /(s^circ C)] é a taxa de remoção de calor. Para esta aplicação consideram-se as seguintes condições (iniciais e de contorno):
M(0, x)=Mcirc T(0, x)=Tcirc partial M(t, 0)partial x=0 partial T(t, 0)partial x=0 M(t, L)=0 -k partial T(t, L)partial x=h(T(t, L)-T air )
em que Mcirc e Tcirc representam as condições iniciais para a umidade e temperatura, respectivamente, k [W /(m ^circ C)] é a condutividade térmica, T air [ ^circ C] é a temperatura do ar, e h[W /(m^2 ^circ C)] é o coeficiente de transferência de calor. Encontre o modelo adimensional sabendo que:
tau=D tL^2, X=xL, barM=MMcirc, barT=T-TcircT air -Tcirc
em que tau, X, barM e barT representam os adimensionais para o tempo, o comprimento, a umidade e a temperatura, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o processo de secagem na engenharia química, que é super importante porque tem várias aplicações. A gente tem um sistema de equações diferenciais parciais que descrevem como a umidade e a temperatura mudam no tempo e no espaço. Nosso objetivo aqui é tornar esse modelo “adimensional”, ou seja, remover as unidades das equações para facilitar análises e comparações. Para isso, vamos precisar usar as variáveis adimensionais fornecidas: , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as variáveis originais pelas adimensionais. As relações que temos são:
tau = D tL^2, X = xL, barM = MMcirc, barT = T - TcircTair - Tcirc
Isso significa que:
t = L^2D tau, x = L X, M = Mcirc barM, T = Tcirc + (Tair - Tcirc) barT

Passo 3

Vamos agora substituir essas expressões nas equações diferenciais originais. Começando com a primeira equação:
partial Mpartial t = D partial^2 Mpartial x^2 - k1 T
Substituindo partial (Mcirc barM)partial ( L^2D tau ) = D partial^2 (Mcirc barM)partial (L X)^2 - k1 ( Tcirc + (Tair - Tcirc) barT ) e Mcirc DL^2 partial barMpartial tau = D McircL^2 partial^2 barMpartial X^2 - k1 Tcirc - k1 (Tair - Tcirc) barT , temos:
partial barMpartial tau = partial^2 barMpartial X^2 - k1 Tcirc L^2Mcirc D - k1 (Tair - Tcirc) L^2Mcirc D barT
Simplificando as derivadas:
Dividindo toda a equação por :

Passo 4

Vamos fazer algo semelhante para a segunda equação:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Substituindo partial ( Tcirc + (Tair - Tcirc) barT )partial ( L^2D tau ) = alpha partial^2 ( Tcirc + (Tair - Tcirc) barT )partial (L X)^2 e (Tair - Tcirc) DL^2 partial barTpartial tau = alpha (Tair - Tcirc)L^2 partial^2 barTpartial X^2 :
Dalpha partial barTpartial tau = partial^2 barTpartial X^2
Simplificando as derivadas:
Dividindo por :

Passo 5

Agora, vamos reescrever as condições de contorno e iniciais usando as variáveis adimensionais:
Condições iniciais:
barM(0, X) = 1, barT(0, X) = 0
Condições de contorno:
partial barMpartial X( tau, 0 ) = 0, partial barTpartial X( tau, 0 ) = 0, barM( tau, 1 ) = 0
Para a última condição de - k partial Tpartial x( tau, 1 ) = h ( T( tau, 1 ) - Tair ) :
- k (Tair - Tcirc)L partial barTpartial X( tau, 1 ) = h ( Tcirc + (Tair - Tcirc) barT( tau, 1 ) - Tair )
Substituindo - k (Tair - Tcirc)L partial barTpartial X( tau, 1 ) = h ( - (Tair - Tcirc) + (Tair - Tcirc) barT( tau, 1 ) ) :
- kL partial barTpartial X( tau, 1 ) = h ( -1 + barT( tau, 1 ) )
Simplificando:
partial barTpartial X( tau, 1 ) = h Lk (1 - barT( tau, 1 ) )
Dividindo por :
Rearranjando:

Resposta

O modelo adimensional obtido é:
partial barMpartial tau = partial^2 barMpartial X^2 - k1 Tcirc L^2Mcirc D - k1 (Tair - Tcirc) L^2Mcirc D barT Dalpha partial barTpartial tau = partial^2 barTpartial X^2
com as condições:
barM(0, X) = 1, barT(0, X) = 0 partial barMpartial X( tau, 0 ) = 0, partial barTpartial X( tau, 0 ) = 0, barM( tau, 1 ) = 0 partial barTpartial X( tau, 1 ) = h Lk (1 - barT( tau, 1 ) )

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