A secagem configura-se como uma das operações unitárias mais importantes em engenharia química. Isto se deve a quantidade de aplicações que podem ser desenvolvidas a partir deste fenômeno. Para uma dada aplicação, este fenômeno pode ser representado pelo seguinte sistema de equações diferenciais parciais:
em que
é o tempo,
é a coordenada espacial,
é o comprimento característico,
[w.b.] é o teor de umidade,
é a temperatura,
representa o coeficiente de difusão,
é difusividade térmica e
w.b.
é a taxa de remoção de calor. Para esta aplicação consideram-se as seguintes condições (iniciais e de contorno):
em que
e
representam as condições iniciais para a umidade e temperatura, respectivamente,
é a condutividade térmica,
é a temperatura do ar, e
é o coeficiente de transferência de calor. Encontre o modelo adimensional sabendo que:
em que
e
representam os adimensionais para o tempo, o comprimento, a umidade e a temperatura, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o processo de secagem na engenharia química, que é super importante porque tem várias aplicações. A gente tem um sistema de equações diferenciais parciais que descrevem como a umidade
e a temperatura
mudam no tempo e no espaço. Nosso objetivo aqui é tornar esse modelo “adimensional”, ou seja, remover as unidades das equações para facilitar análises e comparações. Para isso, vamos precisar usar as variáveis adimensionais fornecidas:
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as variáveis originais pelas adimensionais. As relações que temos são:
Isso significa que:
Passo 3
Vamos agora substituir essas expressões nas equações diferenciais originais. Começando com a primeira equação:
Substituindo
e
, temos:
Simplificando as derivadas:
Dividindo toda a equação por
:
Passo 4
Vamos fazer algo semelhante para a segunda equação:
Substituindo
e
:
Simplificando as derivadas:
Dividindo por
:
Passo 5
Agora, vamos reescrever as condições de contorno e iniciais usando as variáveis adimensionais:
Condições iniciais:
Condições de contorno:
Para a última condição de
:
Substituindo
:
Simplificando:
Dividindo por
:
Rearranjando:
Resposta
O modelo adimensional obtido é:
com as condições: