• O princípio fundamental da Dinâmica, F=m a. Encontre a equação abaixo: x=x0+v0 t+12 Fm t^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar o Princípio Fundamental da Dinâmica,
F = m,a,,
e, a partir disso, mostrar que a posição de um corpo sob força constante é
x = x0 + v0,t + tfrac12,Fm,t^2,
Conteúdo: cinemática com aceleração constante e integração. Precisamos saber que aceleração é derivada da velocidade e posição é integral da velocidade.

Passo 2

Da lei F = m,a, isolamos a aceleração (aqui a força e a massa são constantes, então a é constante):
a = Fm,
Teoria aplicada: aceleração é a taxa de variação da velocidade, e, se F e m não mudam, a fica constante.

Passo 3

Agora integramos a aceleração para achar a velocidade em função do tempo. Lembrando que
a = dvdt,,
integrando de 0 até t:
integralv0^v dv = integral0^t a,dt Longrightarrow v - v0 = a,t,
Então
v(t) = v0 + a,t = v0 + Fm,t,
Teoria: a integral de aceleração constante dá variação de velocidade linear no tempo.

Passo 4

Agora integramos a velocidade para achar a posição. Como
v = dxdt,,
fazemos a integral de 0 até t:
integralx0^x dx = integral0^tl(v0 + Fm,t'r)dt' ,
Calculando o lado direito:
  1. integral0^t v0,dt' = v0,t.
  2. integral0^t Fm,t',dt' = Fm,t^22.
    Somando, temos
x - x0 = v0,t + 12,Fm,t^2,,
ou seja
x = x0 + v0,t + 12,Fm,t^2,
Teoria: integral de constante dá termo linear, integral de t dá termo quadrático.

Resposta

boxedx = x0 + v0,t + 12,Fm,t^2,

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