Princípio de Superposição. Se
e
são soluções de
e de
respetivamente, mostre que
é solução de
. Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar o Princípio de Superposição em equações lineares de segunda ordem e em seguida usar esse princípio para resolver a equação
O conteúdo é Equações Diferenciais Lineares não-homogêneas de 2ª ordem e o que vamos precisar é:
- Demonstrar que a soma de soluções de duas forçantes separadas é solução da forçante soma.
- Resolver a parte homogênea
. - Encontrar uma solução particular para
. - Encontrar uma solução particular para
. - Somar tudo usando o princípio de superposição.
Passo 2
Seja
Somando membro a membro, obtemos
Logo
é solução da equação com forçante
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea
A equação característica é
, ou seja
. As raízes são
e
.
Portanto a solução geral homogênea é
Portanto a solução geral homogênea é
Passo 4
Procurar uma solução particular
para
. Como o lado direito é polinomial de grau 2, tentamos
Calculamos
Igualando a
, obtemos o sistema:
Daí
,
, e
. Podemos escolher
.
Logo
Logo
Passo 5
Procurar uma solução particular
para
. Como
é solução da homogênea, usamos o ansatz
Calculamos
Logo
Para ter
é necessário
, ou seja
.
Então
Então
Passo 6
Pelo princípio de superposição, a solução geral da equação original é