Princípio de Superposição. Se y_{1}(x) e y_{2}(x) são soluções de y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=R_{1}(x) e de y^{\prime \prime}+ P(x) y^{\prime}+Q(x) y=R_{2}(x) respetivamente, mostre que y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x) é solução de y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+ Q(x) y=R_{1}(x)+R_{2}(x). Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=1+x^{2}+e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o Princípio de Superposição em equações lineares de segunda ordem e em seguida usar esse princípio para resolver a equação
y'' + 2y' = 1 + x^2 + e^{-2x}.
O conteúdo é Equações Diferenciais Lineares não-homogêneas de 2ª ordem e o que vamos precisar é:
  1. Demonstrar que a soma de soluções de duas forçantes separadas é solução da forçante soma.
  2. Resolver a parte homogênea y''+2y'=0.
  3. Encontrar uma solução particular para R_1(x)=1+x^2.
  4. Encontrar uma solução particular para R_2(x)=e^{-2x}.
  5. Somar tudo usando o princípio de superposição.

Passo 2

Seja
y_1'' + P(x)\,y_1' + Q(x)\,y_1 = R_1(x),
y_2'' + P(x)\,y_2' + Q(x)\,y_2 = R_2(x).
Somando membro a membro, obtemos
(y_1+y_2)'' + P(x)\,(y_1+y_2)' + Q(x)\,(y_1+y_2) = R_1(x) + R_2(x).
Logo y=y_1+y_2 é solução da equação com forçante R_1+R_2.

Passo 3

Resolver a equação homogênea
y'' + 2y' = 0.
A equação característica é r^2 + 2r = 0, ou seja r(r+2)=0. As raízes são r=0 e r=-2.
Portanto a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{-2x}.

Passo 4

Procurar uma solução particular y_{p1} para R_1(x)=1+x^2. Como o lado direito é polinomial de grau 2, tentamos
y_{p1}(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d.
Calculamos
y_{p1}' = 3a x^2 + 2b x + c, \quad y_{p1}'' = 6a x + 2b,
y_{p1}'' + 2y_{p1}' = (6a x + 2b) + 2(3a x^2 + 2b x + c) = 6a x^2 + (6a +4b)x + (2b +2c).
Igualando a 1 + x^2, obtemos o sistema:
6a = 1,\quad 6a+4b = 0,\quad 2b+2c = 1.
Daí a=\tfrac16, 1+4b=0\Rightarrow b=-\tfrac14, e \,-\tfrac12+2c=1\Rightarrow c=\tfrac34. Podemos escolher d=0.
Logo
y_{p1}(x) = \tfrac16 x^3 - \tfrac14 x^2 + \tfrac34 x.

Passo 5

Procurar uma solução particular y_{p2} para R_2(x)=e^{-2x}. Como e^{-2x} é solução da homogênea, usamos o ansatz
y_{p2}(x) = K\,x e^{-2x}.
Calculamos
y_{p2}' = K e^{-2x} -2K x e^{-2x},
y_{p2}'' = -2K e^{-2x} -2K e^{-2x} +4K x e^{-2x} =(-4K +4K x)e^{-2x}.
Logo
y_{p2}'' + 2y_{p2}' =(-4K +4K x)e^{-2x} +2\bigl(K e^{-2x}-2K x e^{-2x}\bigr) = -2K\,e^{-2x}.
Para ter -2K e^{-2x}=e^{-2x} é necessário -2K=1, ou seja K=-\tfrac12.
Então
y_{p2}(x) = -\tfrac12\,x\,e^{-2x}.

Passo 6

Pelo princípio de superposição, a solução geral da equação original é
y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x).

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 + C_2 e^{-2x} + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}x\,e^{-2x}.}

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