Princípio de Superposição. Se y_{1}(x) e y_{2}(x) são soluções de y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=R_{1}(x) e de y^{\prime \prime}+ P(x) y^{\prime}+Q(x) y=R_{2}(x) respetivamente, mostre que y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x) é solução de y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+ Q(x) y=R_{1}(x)+R_{2}(x). Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=\operatorname{sen} x+x e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o princípio da superposição para a equação linear
L[y] \equiv y''+P(x)y'+Q(x)y
e, em seguida, usar isso para resolver
y''+y'-6y=\sin x + x e^{2x}.
O conteúdo é ODE linear de segunda ordem não‐homogênea, e vamos usar que, se
L[y_1]=R_1 \quad\text{e}\quad L[y_2]=R_2,
então L[y_1+y_2]=R_1+R_2.

Passo 2

Para provar o princípio da superposição, defina y=y_1+y_2. Como L é linear,
L[y]=L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]=R_1+R_2.
Assim y satisfaz L[y]=R_1+R_2, mostrando o princípio.

Passo 3

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea
y''+y'-6y=0.
A equação característica é
r^2+r-6=0
cuja solução é r=2 ou r=-3. Logo a base de soluções homogêneas é
y_h(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-3x}.

Passo 4

Agora encontramos uma particular para R_1(x)=\sin x. Usamos o ansatz
y_{p1}=A\cos x + B\sin x.
Então
y_{p1}'=-A\sin x + B\cos x, \quad y_{p1}''=-A\cos x - B\sin x.
Substituindo em y''+y'-6y=\sin x vem
(-A\cos x - B\sin x)+(-A\sin x + B\cos x)-6(A\cos x + B\sin x) =( -7A + B)\cos x +(-A-7B)\sin x.
Isso deve ser igual a \sin x =0\cdot\cos x +1\cdot\sin x, logo
-7A + B = 0, \quad - A -7B = 1.
Resolvendo, A=-\tfrac1{50} e B=-\tfrac7{50}. Assim
y_{p1}(x)=-\tfrac{1}{50}\cos x-\tfrac{7}{50}\sin x.

Passo 5

Em seguida uma particular para R_2(x)=x e^{2x}. Como e^{2x} é solução homogênea (ressonância), tomamos
y_{p2}(x)=x\,e^{2x}(C x + D) = e^{2x}(C x^2 + D x).
Seja u(x)=C x^2 + D x. Então
y_{p2}'=e^{2x}(u'+2u), \quad y_{p2}''=e^{2x}(u''+4u'+4u).
Logo
y_{p2}''+y_{p2}'-6y_{p2} =e^{2x}\bigl[u''+4u'+4u + (u'+2u)-6u\bigr] =e^{2x}[\,u''+5u'\,].
Queremos isso igual a x e^{2x}, ou seja
u''+5u'=x.
Como u'=2C x + D e u''=2C, temos
2C +5(2C x +D)=10C x + (2C+5D)=x.
Comparando coeficientes:
10C=1\implies C=\tfrac1{10}, \quad 2C+5D=0\implies D=-\tfrac1{25}.
Portanto
y_{p2}(x)=e^{2x}\Bigl(\tfrac1{10}x^2 - \tfrac1{25}x\Bigr).

Passo 6

Pela superposição, a solução geral da não-homogênea é
y(x)=y_h(x)+y_{p1}(x)+y_{p2}(x) =C_1 e^{2x}+C_2 e^{-3x} -\tfrac{1}{50}\cos x -\tfrac{7}{50}\sin x +e^{2x}\Bigl(\tfrac1{10}x^2 - \tfrac1{25}x\Bigr).

Resposta

\boxed{% y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-3x} -\tfrac{1}{50}\cos x-\tfrac{7}{50}\sin x +e^{2x}\Bigl(\tfrac1{10}x^2-\tfrac1{25}x\Bigr). }

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