Princípio de Superposição. Se
e
são soluções de
e de
respetivamente, mostre que
é solução de
. Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar o princípio da superposição para a equação linear
e, em seguida, usar isso para resolver
O conteúdo é ODE linear de segunda ordem não‐homogênea, e vamos usar que, se
então
.
Passo 2
Para provar o princípio da superposição, defina
. Como
é linear,
Assim
satisfaz
, mostrando o princípio.
Passo 3
Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
ou
. Logo a base de soluções homogêneas é
Passo 4
Agora encontramos uma particular para
. Usamos o ansatz
Então
Substituindo em
vem
Isso deve ser igual a
, logo
Resolvendo,
e
. Assim
Passo 5
Em seguida uma particular para
. Como
é solução homogênea (ressonância), tomamos
Seja
. Então
Logo
Queremos isso igual a
, ou seja
Como
e
, temos
Comparando coeficientes:
Portanto
Passo 6
Pela superposição, a solução geral da não-homogênea é