Se a probabilidade de certo estudante acertar um problema de probabilidade é de 93%, qual probabilidade de que em cinco problemas solucionáveis ele:
a) Acerte quatro. (R:0,26)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de probabilidade juntos! A gente tem um estudante que acerta 93% das questões de probabilidade. A pergunta é: qual a chance dele acertar exatamente 4 de 5 problemas? Pra isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ótima quando temos um número fixo de tentativas e cada tentativa tem duas possibilidades (acertar ou errar).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros que temos:
  • Número total de problemas (n): 5
  • Número de acertos que queremos (k): 4
  • Probabilidade de acertar cada problema §: 0,93
  • Probabilidade de errar cada problema (q): 1 - p = 0,07

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é a seguinte:
P(k; n, p) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
  • $ p^k $ é a probabilidade de acertar k vezes.
  • $ (1-p)^{n-k} $ é a probabilidade de errar as outras vezes.

Passo 4

Vamos calcular $ C(n, k) $, que é o número de maneiras de escolher 4 acertos em 5 problemas:
C(n, k)

Passo 5

Agora, calculamos $ p^k $:
p^k

Passo 6

Em seguida, calculamos $ (1-p)^{n-k} $:
(1-p)^n-k

Passo 7

Finalmente, multiplicamos tudo junto para encontrar a probabilidade:
P(4; 5, 0,93) = 5 times 0,748 times 0,07 approx 0,26

Resposta

A probabilidade de o estudante acertar exatamente quatro dos cinco problemas é de aproximadamente 0,26 (ou 26%).

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